Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

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Amusettes de vacances

Bonsoir,

Pour ne pas s'endormir avant la rentrée ( que j'espère moins pluvieuse que ce mois de Juillet pourri !), deux questions pas trop difficiles.

L'une purement arithmétique, et pour l'autre je vous laisse deviner la catégorie.

1/ Montrer la réciproque de théorème de Gauss: si, pour tout c,  a divise bc => a divise c,   alors a et b sont étrangers

2/ la somme de N réels positifs dont le produit vaut 1  vaut au moins N.

Bon courage

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Roro

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Re : Amusettes de vacances

Bonsoir,

Pour la deuxième, c'est sans doute un peu le marteau pour écraser une mouche mais

▼une idée

avec les multiplicateurs de Lagrange en minimisant la somme sous la contrainte du produit ça marche bien !

Roro.

Dernière modification par Roro (25-07-2024 22:42:47)

bridgslam

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Re : Amusettes de vacances

Bonjour Roro,

Oui, mais il y a une méthode directe très simple, le sujet pourrait être posé pour de bons élèves de terminale sans connaissance annexe plus fouillée, en partant du bon pied.

Bon courage

Alain

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bridgslam

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Re : Amusettes de vacances

Bonjour,

Sinon pour la première question:

▼une solution

Si on note b' et a' les quotients respectifs de b et a par leur pgcd,
Alors a'b = ab', on en déduit donc que a divise a'b, puis avec l'hypothèse que a divise a'.
Donc a=a', et donc le pgcd de a,b est 1.

A.

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bridgslam

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Re : Amusettes de vacances

Bonjour,

Pour l'autre, je précise un peu ( pour mettre l'eau à la bouche):

▼la preuve du pauvre

Quand j'ai attaqué la question, l'attaque frontale sur N nombres
n'a pas abouti de façon convaincante par l'algèbre et sans outils d'analyse.
J'ai regardé ce qui se passe en réduisant N, ce qui donne l'idée
de procéder par un moyen que tout élève de Terminale connaît
( et cette fois le calcul algébrique portera ses fruits , la question étant énormément dégrossie).
Le plus rigolo est que vu la question, le premier réflexe est d'éliminer d'office ce type de preuve.

Moralité: les réflexes d'élimination ne sont pas gages d'efficacité dans nôtre discipline...
A.

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bridgslam

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Re : Amusettes de vacances

Bonjour,

Un dernier coup de pouce:

▼pour s'en sortir sans se prendre la tête

On peut procéder bien-sûr par récurrence sur N, même si cela semble douteux a priori.
Le cas N = 1 est immédiat, on peut aussi regarder le cas N=2 ça ne mange pas de pain.

En supposant la propriété vraie jusqu'à un rang N (pour des réels quelconques vérifiant les contraintes) , on verra facilement qu'elle se propage au rang N+1,
et on aura alors  intérêt à numéroter les valeurs par ordre croissant des valeurs, puis on utilisera alors une expression (x-1)(1-y) pour conclure au rang N+1.

▼solution par récurrence

Le cas N = 1 est immédiat, on peut aussi regarder le cas N=2 ça ne mange pas de pain.

En supposant la propriété vraie jusqu'à un rang N (pour des réels quelconques vérifiant les contraintes).
si on se donne N+1 réels vérifiant les conditions, avec $0 \lt x_1 \le x_2 .... \le x_{N+1}$ , on regroupe ensemble les valeurs extrêmes $x_1x_{N+1}$
On a alors une somme de N  termes, qui est donc minoré par N avec l'hypothèse de récurrence au rang N.
Un peu d'algèbre qui fait jouer cette somme, et celle qui nous intéresse,  et où apparaît $(x_{N+1} - 1)(1- x_1)$ de signe connu fournit l'inégalité attendue au rang N+1.

Bon we.

A.

Dernière modification par bridgslam (26-07-2024 17:52:19)

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edgar1234

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Re : Amusettes de vacances

Bonsoir, on applique le logarithme sur le produit des e(k) (réels strictement positifs car le produit des e(k) est égal à 1), on obtient que la somme des log(e(k))=0,
on utilise l'inégalité log(x) <= x-1 sur chaque e(k) puis on somme d'où 0 <= la somme des e(k) - N d'où le résultat voulu

Dernière modification par edgar1234 (02-08-2024 18:04:13)

Bernard-maths

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Re : Amusettes de vacances

Bonjour à tous !

1 mois et demi d'hosto, je reviens ...

Une idée en passant :

2/ la somme de N entiers relatifs dont le produit vaut 1  vaut au plus N.

PS : j'ai pas cherché ...

PS : rectifié réels en entiers !!!

Dernière modification par Bernard-maths (01-08-2024 16:57:29)

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

bridgslam

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Re : Amusettes de vacances

Bonjour,

Si on se cantonne à des entiers relatifs, chaque entier valant 1 ou -1, .... la somme est comprise entre -N et +N.

Noter que si N est impair, elle est strictement supérieure à -N, sinon le produit serait -1.

A.

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bridgslam

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Re : Amusettes de vacances

Bonsoir ,

Bien-sûr on a aussi le résultat comme application immédiate de l'inégalité des moyenes géométriques et arithmétiques.
L'idée était surtout de s'en sortir avec des moyens ultras ras de terre.
L'ironie est que Cauchy  a pu montré l'inégalité geo-arith générale en utilisant une récurrence ( un peu spéciale certes).

A.

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