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Glozi

Invité

Prédire sans (rien ?) voir

Bonsoir,
Deux amis ont chacun deux pièces équilibrées (chacun a une pièce rouge et une pièce bleue). L'un est à Paris l'autre à New York. Au même moment ils lancent chacun leurs deux pièces (chacune est donc sur pile ou face avec probabilité 1/2). Chacun constate ses propres lancers, puis envoie une lettre rouge ou bleue à son ami (ils envoient ces lettres au même moment sans avoir communiquer). Quelques jours plus tard, les deux amis reçoivent la lettre colorée de l'autre. Chacun regarde alors si sa pièce de la couleur indiquée par la lettre reçue est sur face. Ils gagnent si les deux prédictions sont justes, ils perdent si au moins l'une des deux prédictions est fausse.

Ainsi le but pour les deux est de prédire la couleur d'une pièce de son ami qui serait sur face.

Ex :
À Paris, la pièce rouge est sur pile et la pièce bleue est sur face : le Parisien décide d'envoyer une lettre rouge
À New York, la pièce rouge est sur face et la pièce bleue est sur pile : le New-Yorkais décide d'envoyer une lettre rouge.
La prédiction du Parisien est correcte car la pièce rouge du New-Yorkais est bien sur face. Mais la prédiction du New-Yorkais est fausse car la pièce rouge du Parisien est sur pile. Ainsi dans cette configuration les deux amis ont perdu.

À priori, si chacun choisit la couleur de sa lettre au hasard, alors il y aura une chance sur quatre que les deux amis soient victorieux.
Trouvez une stratégie qui leur donne une chance plus grande (strictement) de gagner !
Bonne chance :)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 229

Re : Prédire sans (rien ?) voir

Bonsoir Glozi,

  Cela fait plusieurs jours que je réfléchis à ton énigme sans avancer...
J'imagine qu'il y a une astuce dans le point d'interrogation de ton titre.
Aurais-tu un indice à donner?

F.

Michel Coste

Membre

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 188

Re : Prédire sans (rien ?) voir

Bonjour,
Une sttratégie possible :

▼Texte caché

chacun envoie une lettre rouge si sa pièce rouge indique face, bleue sinon. La probabilité de gagner est $\dfrac14+\dfrac1{16}$.

Dernière modification par Michel Coste (12-02-2024 17:12:09)

Glozi

Invité

Re : Prédire sans (rien ?) voir

Bonjour,
Désolé, je n'avais pas vu vos réponses et j'avais un peu oublié ce fil...

Fred, comme souvent les probas donnent des résultats très contre-intuitifs. Il ne serait pas possible pour les deux amis de faire mieux qu'une proba $1/4$ s'ils ne constatent pas le résultat de leur propres pièces. J'ai du mal à trouver un indice qui ne donne pas tout de suite la solution... Disons que les deux amis peuvent chacun avoir la même stratégie et que cette stratégie doit dépendre du résultat d'au moins une des deux pièces que la personne voit.

Michel : oui c'est une stratégie qui fonctionne :) Il est possible de généraliser cette stratégie avec $n$ pièces de $n$ couleurs différentes, voir une infinité (dénombrable) de pièces de couleurs différentes.

▼généralisation

S'il y a une infinité dénombrables de pièces avec les couleurs $1,2,3,\dots$.
Si chaque ami donne la couleur de sa première pièce sur face.
Alors les deux amis gagnent avec probabilité $1/3$.
Mais, il y a cette fois encore moyen de faire mieux que $1/3$...

Bonne journée

OphelieGauthier23

Membre

Inscription : 28-06-2024

Messages : 1

Re : Prédire sans (rien ?) voir

Salut,

Astuce simple : chaque ami doit envoyer une lettre de la couleur de la pièce qui est sur pile. Cette stratégie augmente leurs chances de gagner, car si l'un envoie rouge et l'autre bleu, ils peuvent prédire plus facilement.

A+