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Fred12345

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Limite d une somme

Bonjour, j aimerai avoir de l aide pour trouver la limite de Un= somme de k=0 à n-1 de ((n-k)/n) ^n.
J ai compris que ça tendait vers 1/(1-e^-1) qui est la limite de la somme des e^(-k) mais jsp comment l expliquer. Merci d'avance

bridgslam

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Re : Limite d une somme

Bonsoir,

Transformer l'expression avec la fonction exponentielle.
Puis retrouver une somme de Riemann vis à vis de la fonction intégrable ad hoc.

A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Fred1234

Invité

Re : Limite d une somme

Merci pour ton aide
Avec l exp j arrive à e^(n*ln(1-k/n)) mais ducoup je ne trouve pas la fonction adéquate pour la somme de Riemann,(on est d accord que cette fonction ne doit pas dépendre de N) merci d avance

bridgslam

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Re : Limite d une somme

Bonsoir,

Il faut manipuler ensuite l'expression afin de retrouver une variable x , un intervalle compact pour x, et des "largeurs" de tranches $\Delta x $ qui collent à la question.
La limite correspond alors à l'intégrale définie dans ce contexte, selon la théorie de l'intégrale, la largeur des tranches tendant vers 0.
Bien poser un cadre, c'est quasi résoudre une question.

A.

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bridgslam

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Re : Limite d une somme

Petit coup de pouce pour le n qui gêne: modifier la fonction par un changement de variable faisant plutôt apparaître (1/n) au lieu de n, ce sera la largeur de tranche.

Bonne soirée
A.

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Fred12345

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Re : Limite d une somme

Merci pour votre aide, mais je suis désolé je n arrive pas à trouver la fonction: déjà on peut sortir un (1/n) de la somme pour l écart de la somme de Riemann on se retrouve donc avec les termes de la somme qui sont
n*e^(n ln(1-k/n))
On peut aussi faire un changement de variable pour avoir juste ln(k/n) au lieux de 1-k/n (avec donc (k=1 a n ce qui reste u'e somme de Riemann)
Mais je ne voit pas comment supprimer les deux n pour trouver la fonction.
Désolé du dérangement et merci fmd avance pour votre reponse

bridgslam

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Re : Limite d une somme

Bonjour,

Je suis à une fête pour le we, je vous répondrai lundi si possible A.

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bridgslam

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Re : Limite d une somme

Bonjour ,

Cela semble effectivement mal se négocier en se dirigeant vers une somme de Riemann.
Peut-être une fausse piste au final.

Bon courage pour explorer d'autres voies.

A.

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Totototo

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Re : Limite d une somme

Bonsoir,

Quel réflexe aurait-on en face du problème continu ?

Fred

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Re : Limite d une somme

Bonsoir,

  Je complète un tout petit peu la réponse de Totototo. Par problème continu, il veut dire que ferait-on si on voulait déterminer la limite de
$\int_0^n \left(1-\frac xn\right)^n dx$ ?

F.

bridgslam

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Re : Limite d une somme

Bonjour,

Si on repart de l'expression initiale , on peut factoriser par exp( -n ln(n) ), l'autre facteur étant la somme des n premiers entiers élevés à la puissance n.

Ce second facteur doit avoir un équivalent connu je pense en l'infini.
Il suffit alors de chercher la limite du produit des deux facteurs en l'infini.

A.

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Fred12345

Invité

Re : Limite d une somme

Bonsoir,

  Je complète un tout petit peu la réponse de Totototo. Par problème continu, il veut dire que ferait-on si on voulait déterminer la limite de
$\int_0^n \left(1-\frac xn\right)^n dx$ ?

F.

Merci pour votre aide, pour résoudre l intégrale j aurai tendance à passer par la formule de Pascal pour intégrer et après calcul on peut trouver que ça tend vers 1. Mais je n ai pas compris à quoi cela peut servir pour résoudre le pb de base. Merci d avance

Fred12345

Invité

Re : Limite d une somme

Je reviens sur la premier idée que j avais eu qui était de faire "une somme d équivalent" (même si je sais que c est totalement interdit) et cela mène bien à la bonne limite (en regardant à la calculatrice) . N y aurai t il pas moyen de justifier l équivalence être ces deux sommes.

J ai le mm problème sur un exercice qui consiste à trouver un équivalent de la somme de k=1 à n de sin(racine(k) /n). Si on fait la somme des équivalents on tombe sur une somme qui est possible à faire avec riemann pour trouver l équivalent, mais encore une fois je ne sais pas comment justifier l équivalence entre les 2 sommes

bridgslam

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Re : Limite d une somme

Bonsoir,

Pour l'intégrale affichée par Fred, c'est l'inverse de la démarche pour discrétiser un pb continu.
On fait le contraire en quelque sorte, c'est utilisé en physique pour voir apparaitre certaines lois probabilistes, par exemple la marche au hasard, où on en arrive à des lois de Gauss, continues, à partir de phénomènes discrets à la base (le clochard se déplace par à coups, comme la boule sur la planche de Galton).
Si dans le pb posé on trouve un équivalent de la somme en facteur de exp( -nln(n) ) , à base d'exponentielle notamment, ce doit être jouable pour voir apparaitre la limite.
On a bien la formule Stirling pour n!, pourquoi pas un autre équivalent à base de exp  pour 1^n + 2^n +.... +n^n ?

Bon sujet.

Alain

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Totototo

Invité

Re : Limite d une somme

Bonsoir,

Vous n'avez sans doute pas étudié l'intégrale de Lebesgue, disons que le réflexe aurait été de réécrire cette intégrale $\int_{0}^{+\infty} f_n(t) dt$ avec $f_n(t)=(1-t/n)^n 1_{[0;n]}$ puis d'étudier la convergence simple et une éventuelle domination de la suite.

On peut s'en inspirer et écrire le terme général de la suite comme la somme d'une série $U_n=\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(n)$ avec $f_k(n)=(1-k/n)^n 1_{k \le n}$ et on constate que si le résultat qu'on vous demande de démontrer est vrai alors il s'agit de justifier un échange des symboles limite en plus infini et signe somme. En fonction de ce que vous savez en théorie de l'intégration et/ ou limite uniforme vous devriez avoir des outils pour conclure.
Si vous ne savez rien de la convergence uniforme ni de la théorie de Lebesgue, on peut faire autrement en utilisant la compacité (valeurs d'adhérences) ou alors en bricolant avec des espilons. Mais le mieux serait de voir qu'il s'agit de justifier un passage de la limite sous le signe somme.

Totototo

Invité

Re : Limite d une somme

Bonjour,

Je viens de voir que le théorème de convergence dominée de Lebesgue version mesure de comptage sur $N$ s'appelait théorème de Tannery :
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tannery%27s_theorem

rokaya

Invité

Re : Limite d une somme

j'ai besoin d'aide

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite d une somme

Bonsoir,

OUI ?
Mais là avec le peu de détails qu'on a à notre disposition, cela risque de ne pas être évident ... ^_^
Un petit effort s'il te plaît...

Merci

     Yoshi
- Modérateur -

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