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Vincent62

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Limite avec indicatrice

Bonjour,

J'ai toujours du mal à déterminer certaines limites, notamment pour ce genre de suite de fonctions : [tex]f_n(x)=n\times 1_{[0,\frac{1}{n}]}(x)[/tex]. Je travaille ici sur un espace mesuré [tex](X,\mu)[/tex].

Je propose ceci.
Soit x réel. Déjà, [tex]f_n(x)=1[/tex] si [tex]x\in [0;\frac{1}{n}][/tex] et [tex]f_n(x)=0[/tex] si [tex]x\notin [0;\frac{1}{n}][/tex].
Lorsque [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex], on a [tex]\mu([0;\frac{1}{n}])=\frac{1}{n}\to 0[/tex] et donc [tex]f_n(x)[/tex] tend vers [tex]0[/tex] presque partout lorsque [tex]n\to +\infty[/tex].

Est-ce que c'est juste ? Ce qui me gêne, c'est que la mesure de l'ensemble [tex][0;\frac{1}{n}][/tex] n'est pas nulle, mais tend vers [tex]0[/tex] lorsque [tex]n\to +\infty[/tex].

Merci d'avance !

Eust_4che

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Re : Limite avec indicatrice

Bonjour,

Le raisonnement n'est pas bon.

La spécificité ici est que les ensembles $\textrm{A}_n = [0, 1/n]$ forment une suite décroissante dont l'intersection est le singleton $\{0\}$. Donc, pour tout $x \neq 0$, il existe $n \geq 0$ tel que $x \notin \textrm{A}_n$. Comme la suite est décroissante, on a $x \notin \textrm{A}_p$ pour tout $p \geq n$. Pour $x \neq 0$, la suite des réels $f_n(x)$ est donc nulle à partir d'un certain rang, ce qui entraîne aussitôt qu'elle converge vers $0$. En revanche, pour $x = 0$, on a $f_n(x) = n$. La suite converge donc vers $+ \infty$ (ou ne converge pas selon le point de vu sur la convergence).

Pour l'instant, on n'a fait que calculer la limite simple d'une suite de fonctions. Il se trouve, dans notre contexte, que $\{ 0 \}$ est de mesure nulle. On peut donc dire que la suite $(f_n)$ converge presque partout vers la fonction $0$.

En revanche, si l'on considère une suite quelconque de fonctions $f_n = n . \textbf 1_{\textrm{A}_n}$, avec la seule indication que $\mu(\textrm A_n) \rightarrow 0$, on ne peut pas en déduire une convergence simple presque partout. On peut donner des exemples de suites qui ne converge en aucun point, malgré cette hypothèse.

E.

Vincent62

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Re : Limite avec indicatrice

Merci Eust_4che, j'ai enfin compris comment ça fonctionnait !
A chaque fois, le corrigé dit que c'est trivial... C'est relatif ^^

Vincent62

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Re : Limite avec indicatrice

J'essaye avec [tex]f_n(x)=1_{[n;n+1]}(x)[/tex].
Déjà, pour x strictement négatif fixé, [tex]f_n(x)=0[/tex].
Soit [tex]x\ge 0[/tex] fixé. Alors pour [tex]n[/tex] assez grand, [tex]x\notin [n;n+1][/tex] et donc [tex](f_n(x))_n[/tex] est nulle à partir d'un certain rang.
Pour [tex]x=n[/tex], on a [tex]f_n(n)=1[/tex].
Puisque {1} est un ensemble de mesure nulle, on en déduit que [tex]lim_n f_n(x)=0[/tex] pour presque tout réel x.

Dernière modification par Vincent62 (01-07-2024 00:55:09)

bridgslam

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Re : Limite avec indicatrice

Bonjour,

J'essaye avec [tex]f_n(x)=1_{[n;n+1]}(x)[/tex].
Déjà, pour x strictement négatif fixé, [tex]f_n(x)=0[/tex].
Soit [tex]x\ge 0[/tex] fixé. Alors pour [tex]n[/tex] assez grand, [tex]x\notin [n;n+1][/tex] et donc [tex](f_n(x))_n[/tex] est nulle à partir d'un certain rang.

C'est vrai

Pour [tex]x=n[/tex], on a [tex]f_n(n)=1[/tex].

En effet. Et alors?

Puisque {1} est un ensemble de mesure nulle, on en déduit que [tex]lim_n f_n(x)=0[/tex] pour presque tout réel x.

Je ne vois pas ce que vous voulez dire.

La suite de fonction choisie converge (simplement) vers la fonction nulle  en tout point réel.

Je pense qu'il y a quelque chose de flou ou une confusion quelque part.

On a par ailleurs que la convergence vers la fonction nulle de la suite des restrictions $ ( f_{n|P} ) $ à une partie P de $\mathbb{R}$ est uniforme si et seulement si la partie P est majorée.

A.

Dernière modification par bridgslam (01-07-2024 15:45:01)

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Vincent62

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Re : Limite avec indicatrice

Bonjour bridgslam,

Effectivement, la deuxième partie est inutile. Merci.

Je garde en mémoire votre dernière assertion que j'essayerai de démontrer.

bridgslam

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Re : Limite avec indicatrice

Bonjour,

Avec plaisir.
Le dernier point est quasi un pléonasme. Pour économiser votre temps en vous consacrant à des sujets plus palpitants:

Par exemple par disjonction des cas:

Si P est majorée , $(f_n|P)=(0)$ à partir d'un certain rang N tel que N > P.

Si P n'est pas majorée, pour tout N entier, il existe un élément x de P au moins égal à N.
Ainsi pour tout N entier , il existe n entier au moins égal à N tel que x est dans [n,n+1].
$\forall N \in \mathbb{N},  \exists n \ge N  \;\; \exists x \in P:  f_n|P (x) = 1$, la suite (f_n|P) ne converge donc pas uniformément vers 0.

A.

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