Forum de mathématiques - Bibm@th.net

capesman

Modérateur

Inscription : 15-08-2016

Messages : 152

Périmètres, aires, volumes

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Périmètres, aires, volumes.

Capesman.

Magalie

Invité

Re : Périmètres, aires, volumes

(Re-)bonjour à tous,

Pour cette leçon, j'ai un vrai problème avec le nombre pi. Qu'en dire ? Pensez-vous qu'un développement sur le sujet soit nécessaire ou bien qu'il est quasi-certain que le jury nous pose des questions dessus ? Que comptez-vous dire à ce sujet ?

En vous remerciant d'avance,

Magalie

RenaultT

Membre

Inscription : 02-01-2017

Messages : 1

Re : Périmètres, aires, volumes

Bonjour Magalie,
J'ai travaillé ce week-end les leçons de géométrie et notamment la leçon 19 "Problèmes de constructions géométriques". J'ai inséré une petite démonstration pour donner un encadrement de pi à partir de l'aire de  deux dodécagones inscrit et circonscrit à un cercle de rayon 1.  Cette démonstration peut, je pense, s'inscrire aussi dans la leçon 16.
Cordialement
Thomas

Loulou

Invité

Re : Périmètres, aires, volumes

Bonjour,
Avez-vous une idée de plan pour cette leçon ?
Je n'ai absolument aucune idée de comment faire, car je ne me vois pas définir le périmètre d'un triangle, carré, ... puis l'aire d'un carré, d'un rectangle ...
Fin pour l'oral cela me semble un peu simpliste ...
Mais définir l'aire avec les déterminants n'est-ce pas un peu hors-sujet ?
Fin je suis totalement perdu pour cette leçon ...
Cordialement

capesman

Modérateur

Inscription : 15-08-2016

Messages : 152

Re : Périmètres, aires, volumes

Bonjour,

  Procéder comme tu le fais serait démontrer que tu n'as rien compris à ces notions! On ne "définit" pas l'aire d'un carré par $c^2$. L'aire d'un carré est égale à $c^2$!
Evidemment, c'est une leçon très difficile, pour laquelle je me garderai bien de donner des conseils trop précis, n'y ayant jamais passé un temps suffisant de réflexion. C'est une leçon à comprendre avec la thématique "grandeurs et mesures" des cycles 2, 3 et 4. C'est assez facile de définir la longueur d'un segment en prenant une longueur étalant et en utilisant la notion de réduction/agrandissement. Le périmètre de toutes les polygones s'en déduit aisément. C'est sans doute alors le bon moment de définir le nombre pi comme le rapport entre le périmètre d'un cercle (mais qu'est-ce que le périmètre d'un cercle!) et son diamètre. Il est clair qu'une activité avec des approximations de type Archimède du périmètre d'un cercle sont les bienvenus!
Il faut aussi se poser la question de ce qu'est l'aire d'une figure. Qu'est-ce que qui est préservé (par découpage, par isométrie, par agrandissement). Ayant fixé une unité d'aire (un carré unité), on doit être capable de démontrer les formules de l'aire d'un rectangle, d'un triangle... et peut-être même d'un disque???
On peut aussi se poser la question de savoir s'il faut parler d'intégrale dans cette leçon, pour calculer l'aire de domaines un peu plus compliqués????

Bref, beaucoup de questions à se poser!

Capesman.

jjostypm

Membre

Inscription : 28-03-2023

Messages : 13

Re : Périmètres, aires, volumes

Bonjour

Pour le cycle 4, je pense introduire le fait qu'une pyramide a pour volume le tiers du produit de sa base par sa hauteur en mentionnant qu'on peut l'établir sans intégration sur deux cas particuliers:
- par découpage d'un cube en 3 pyramides identiques issues d'un même sommet
- par découpage d'un tétraèdre régulier en 2 prismes identiques et deux tétraèdres réguliers plus petits

Olivier Geneste illustre joliment la démarche d'intégration de l'aire d'un disque ou du volume d'un cône sur cette vidéo

Les exemples bien réels de pyramides à degrés peuvent aider les élèves à s'engager en douceur dans la démarche de calculer un volume par
intégration.

Cordialement
J.-J.

Pascal L

Membre

Inscription : 21-03-2024

Messages : 10

Re : Périmètres, aires, volumes

Témoignage sur cette leçon choisie lors des mes oraux 3ème concours session 2024. C’est une leçon que j’apprécie sans être celle que je préfère. Mais disons que j’étais plutôt content du tirage (j’avais le choix avec la leçon 42 sur les raisonnements mathématiques).

Mon plan était classiquement en 3 parties, suivant l'énoncé de la leçon.

Je suis passé très rapidement sur la partie « périmètres », proposant uniquement un développement sur l’approximation de Pi par le calcul du périmètre de polygones.

Mon plan était surtout centré sur la partie « Aires » et largement inspiré par l’ouvrage de Daniel Perrin, « Mathématiques d’école » https://www.amazon.fr/Mathématiques-déc … 284225158X

L’idée était de partir d’une axiomatique minimaliste (unité de surface d’un carré de côté 1 + invariance par isométrie + principe d’homogénéité / proportionnalité par homothétie), puis de démontrer les formules (i) de l’aire d’un carré de coté c, (ii) d’un rectangle de côté a*b (inscrit dans un grand carré de côté a+b), (iii) d’un triangle rectangle. Développement proposé : démonstration du théorème de pythagore par la géométrie.

Je continue de dérouler en démontrant la formule (i) de l’aire d’un triangle quelconque avec angle aigu, obtus, (ii) la formule avec sinus de l’aire d’un triangle et propose comme développement la démo de la formule de Héron.

Je présente ensuite quelques propriétés liées aux aires d’un triangle dont le lemme de la médiane et le lemme du trapèze, puis 2 développements associés à ces lemmes : (i) démonstration du théorème de Thales ; (ii) démonstration du théorème de CEVA pour lequel j’avais préparé une présentation Geogebra.

J’enchaine sur le calcul des aires par intégration avec comme développement proposé la démonstration du théorème fondamental de l’analyse (ie. lien entre intégrale et primitive pour les fonctions continues). Application proposée : calcul de l’aire d’un cercle.

Je clos le chapitre sur le lien entre calcul de déterminant et surface avec le cas des isométries, des homothéties et le cas général.

Dernière courte partie sur le calcul des volumes par intégration, inspiré de la vidéo d’Oljen proposé par jjostypm dans le post précédent (je l'avais noté en lisant ce forum lors de ma préparation - merci !).

Jusque là tout va bien, j’étais plutôt satisfait de mon plan écrit sur une page de texte Impress

Les choses se sont compliquées une fois devant le jury …

A ma charge : candidat libre, je n’avais jamais pratiqué cet exercice de présentation de leçon découvert sur le tard, après les écrits. Je n’ai pas pu non plus assister aux oraux d’autres candidats la veille. Bref : si mon plan avait (je pense) du contenu, j’ai été brouillon dans mes explications orales, et encore plus brouillon dans mes gribouillages au tableau, ne sachant pas trop quoi développer, ni sur quoi insister. J’ai mal géré mon temps, mal équilibré mon plan (trop sur les surfaces, pas assez sur les périmètres), et ai certainement proposé trop de choses hors programme collège/ lycée. Les développements qui m’ont été demandés étaient les plus simples de ce que j’avais proposés (démonstration du théorème de Pythagore par la géométrie, puis calcul de l’aire d’un cercle), mais sur quoi le jury a été extrêmement pointilleux, me reprenant quasiment à chacune de mes phrases, sans que je comprenne toujours où ils voulaient en venir. Un exemple : alors que je venais de finir de démontrer le théorème de Pythagore (sur quoi un des membres du jury me dit douter qu’un élève de 4ème puisse comprendre ma démonstration...), on me demande d’écrire au tableau l’énoncé du théorème de Pythagore - je m’exécute un peu étonné par la demande - puis on me dit que ce que j’ai écrit est faux - j’avais oublié un « alors » dans l’énoncé du théorème… Bref! cet oral ne fut pas un exercice très agréable, me projetant l’image d’un candidat brouillon, incapable d’expliquer quoique ce soit, finissant par me faire douter de ce que je disais… l’oral s'est terminé par un exercice d’optimisation de la surface extérieure d’un volume que je n’ai pas eu le temps de finir (j’avoue qu’à ce point je n'avais plus trop le coeur à l’ouvrage…) Bref, je sors de là m’attendant à un 5. Je m’en tire finalement avec 10, porté certainement par le contenu de mon plan.

Je me garderai bien de donner des conseils. Mais disons que si c’était à refaire, je pense que je m’inscrirais au CNED au moins sur la préparation de l’oral, histoire de voir des exemples en ligne. Cela peut être bien aussi d’assister à des oraux la veille de sa leçon. Sinon, concentrez vous sur le programme collège / lycée, en gardant sous le coude/ en marge un petit développement plus compliqué.

Bonne chance