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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 02-06-2024 10:40:16
- Pol de Tayrac
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Distance entre deux fermes disjointes
Bonjour tout le monde.
Je me demande si l'assertion [tex]d(A,B)=0 \Rightarrow A\cap B \neq \emptyset[/tex] est vraie pour A et B des parties fermées dans un espace métrique quelconque.
Je pense que oui mais j'arrive pas à le montrer. J'ai essayé aussi de trouver des contrexemples mais sans succès.
Dernière modification par Pol de Tayrac (02-06-2024 10:43:40)
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#2 02-06-2024 11:01:58
- Pol de Tayrac
- Membre
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Re : Distance entre deux fermes disjointes
Bonjour à nouveau.
J'ai deja trouvée un contrexemple sur un livre
[tex]A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:y\leq 0\}[/tex] et [tex]B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:y\geq e^x\}[/tex]
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#3 02-06-2024 13:32:27
- Michel Coste
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- Messages : 1 170
Re : Distance entre deux fermes disjointes
Bonjour,
L'assertion est vraie si un des deux fermés est compact.
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#4 02-06-2024 20:35:13
- Bernard-maths
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- Messages : 1 444
Re : Distance entre deux fermes disjointes
Bonsoir !
Je suis loin de tout ça !
Mais moi je pensais aux x >=0 pour A et les x<=0 pour B ... Alors A et B sont compacts (?), et d(A,b) = 0, et A∩B = {0} non vide ... ?
Bernard-maths
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#5 02-06-2024 21:56:58
- Michel Coste
- Membre
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- Messages : 1 170
Re : Distance entre deux fermes disjointes
Ni $\left] -\infty,0\right]$ ni $[0,+\infty[$ ne sont compacts.
Et quand bien même ? L'assertion vraie est que si $A$ est compact et $B$ fermé disjoint de $A$, alors $d(A,B)>0$.
Alors si on a deux compacts $A$ et $B$ avec $d(A,B)=0$ et $A\cap B\neq \emptyset$, quel est le problème ? (La deuxième propriété entraîne d'ailleurs la première).
Dernière modification par Michel Coste (03-06-2024 09:46:52)
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#6 03-06-2024 08:28:09
- Bernard-maths
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- Messages : 1 444
Re : Distance entre deux fermes disjointes
Bonjour !
Quand je dis cest loin pour moi ... en effet, je pensais que A = ]-∞ , 0] et B = [0 , +∞[ étaient compacts !
Pourquoi pas ??? Merci
Bernard-maths
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#7 03-06-2024 10:24:16
- DeGeer
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- Messages : 86
Re : Distance entre deux fermes disjointes
Bonjour
Ces deux sous-ensembles de $\mathbb{R}$ ne sont pas compacts parce qu'ils ne sont pas bornés. On peut donc en exhiber des suites sans valeur d'adhérence.
Dernière modification par DeGeer (03-06-2024 10:25:30)
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#8 03-06-2024 10:29:13
- Bernard-maths
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- Messages : 1 444
Re : Distance entre deux fermes disjointes
OK ! Merci !
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#9 03-06-2024 14:53:57
- bridgslam
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- Messages : 1 430
Re : Distance entre deux fermes disjointes
Bonjour,
En écho à Michel Coste, si A compact est disjoint de B fermé,
on peut utiliser la continuité de d(., B) non nulle sur A pour obtenir le résultat.
Bonne journée
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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