Des arbres et des intervalles

DrStone · 15-05-2024 11:11:05

Bonjour à tous.

Petite question somme toute assez simple mais enquiquinante !

Prenez un exercice tout bête de sixième tel que

Une allée mesure $50$ mètres de long. On y plante des arbres tous les $5$ mètres. Combien y a-t-il d'arbres sur un côté de cette allée ?

L'approche la plus simple (à mon avis) est de considérer que ces arbres forment ensemble $50\div 5 = 10$ intervalles de $5$ mètres et qu'il y a donc $10+1$ arbres le long de cette allée.

Néanmoins je trouve que ce n'est pas très élégant et cette réponse me semble perfectible. Typiquement, ce qui me gène ici c'est de devoir, au final, faire l'opération suivante : $(50\div 5)+1=11$.

Est-il possible de faire autrement ? Bonus si ce "autrement" est plus simple !

Merci d'avance. ^_^

Dernière modification par DrStone (15-05-2024 11:20:14)

Borassus · 15-05-2024 13:04:49

Bonjour Monsieur Stone,

Pour expliquer le $+1$, je demande à mes élèves de sortir leur règle graduée de leur trousse, et leur montre qu'entre, par exemple, les graduations 5 et 18 il y a 13 cm (18 - 5), mais qu'il y a 14 graduations en comptant celle du 5. C'est plus parlant pour eux que les arbres et les intervalles.

Sinon, pour calculer le nombres d'arbres, je ne vois pas d'autre moyen que de compter le nombre d'intervalles en divisant 50 par 19 [corrigé : 10] et d'ajouter 1 .

Question subsidiaire : Pourquoi, lorsqu'une voiture quitte une route bordée d'arbres, a-t-elle plus de "chances" de heurter un arbre que de passer entre deux arbres ?

Et cela m'a donné une idée de Grand Oral pour le moins originale...
Je reviens donc bientôt lorsque je l'aurai un peu préparé.

Dernière modification par Borassus (15-05-2024 20:52:09)

DrStone · 15-05-2024 16:02:35

Bonjour Borassus.

Je te remercie pour cette première réponse qui me conforte dans l’idée que cette approche est peut-être bien la meilleure. Même si cela ne m’enchante pas trop : avoir ce $+1$ qui traine est, encore une fois, assez inélégant…

Je répond ici à la question que tu as posé dans la discussion connexe : le sujet m’intéresse, bien que je n’ai, heureusement, pas à passer de grand oral. ^_^

PS. Petite erreur de "frappe" ta part : on ne divise pas $50$ par $19$ ici. En effet, il est difficile de planter $2,6315789474+1$ arbres !

Dernière modification par DrStone (15-05-2024 16:07:58)

Bernard-maths · 15-05-2024 17:00:59

Vous la fermez, oui ou non ? (à prendre au second degré (:-))

Un champ rectangulaire mesure 30m de long sur 20m de large. Il est entouré d'une clôture composée de piquets tous les 2m.

1°) Combien y-a-t-il de piquets sur la longueur, et combien d'intervalles ?
2°) Même question pour la largeur.
3°) Quel est le périmètre du champ ?
4°) Alors combien de piquet et d'intervalles sur le contour ?

Voilà pour vous amuser ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (15-05-2024 17:38:56)

DrStone · 15-05-2024 18:00:26

Bonne question Bernard-maths ! Je me suis toujours posé la question lorsqu’on me fournissait ce type d’exercices. Ici par exemple, il s’agit d’un champ et il faut bien pouvoir y entrer dans ce champ ! J’aurais tendance à dire qu’il ne faut pas la fermer, la clôture. Même si bien entendu, ce qui est probablement attendu est de la fermer ! J’aimerais bien avoir l’avis de yoshi sur ces questions, lui qui a probablement enseigné cela quelques années — ou à minima a été instruit sur celles-ci.

Dernière modification par DrStone (15-05-2024 18:01:14)

DrStone · 15-05-2024 18:03:42

PS. L’avis de tout le monde m’intéresse, bien entendu ! Simplement je suis certain que yoshi a eu cet enseignement et n’étant pas au courant de l’âge des autres membres, j’essaie de ne pas trop m’avancer. Quoi qu’il en soit, ne vous privez pas de poster une réponse.

Dernière modification par DrStone (15-05-2024 18:04:04)

Borassus · 15-05-2024 20:59:08

Bonsoir tout le monde,

@Bernard : Si DrStone et Borassus "la ferment", ce forum risque de devenir un peu moins animé... :-)
Ce qui, finalement, serait peut-être reposant ? :-)

Pour ce qui est de l'exercice, il faut garder à l'esprit qu'en chaque sommet un pieu appartient aussi bien à une longueur qu'à une largeur...

vam · 15-05-2024 21:12:52

Bonsoir

mais une porte peut faire pile 2m de large ! :)

Ne pas oublier qu'en 6e, les élèves ont parfaitement le droit de dessiner et de s'appuyer sur leur dessin pour répondre à ce type de questions

yoshi · 15-05-2024 21:12:59

Re,

Coucou... Puisqu'on sollicite ma mémoire : oui, c'était ma tasse de thé (et honte à moi, ça m'avait inspiré bien pire en 6e...)
Flashback...
J'ai connu 2 écoles, celle que j'avais dû encaisser moi-même (en CM2 ? en 6e ? Je sais plus... c'est trop loin...) et que j'avais reproduit avant de vier ma cuti et passer dans la 2e (école)
* Ecole "Appel à la mémoire"
il y a 3 cas. On les retenait par cœur :
a) Il y a 1 piquet à chaque extrémité : dans ce cas il y a 1 piquet de plus que d'intervalles,
b) Il y a 1 piquet à une extrémité : dans ce cas il y a autant de piquets que d'intervalles,
c) Il n'y a pas de piquet aux extrémités : dans ce cas il y a 1 piquet de moins que d'intervalles.

De toutes façons, même avec l'école suivante, il fallait de toutes façons, que ça plaise ou on, en passer d'abord par le calcul du nombre d'intervalles.

* Ecole "Je montre un moyen mnémotechnique" simple pour retenir les cas :
a) |---|---|---| 3 intervalles, 1 piquet à chaque extrémité --> 3 + 1 = 4 piquets
b) |---|---|--- 3 intervalles, 1 piquet à 1 extrémité --> 3 piquets
c) ---|---|--- 3 intervalles, aucun piquet aux extrémités --> 3 - 1= 2 piquets

On peut aussi remplacer le fait de tracer un schéma par le fait de regarder sa main et plier (ou pas) le pouce et l'index.

Bien pire donc, je proposais de chercher quel était le nombre de barreaux d'une échelle.
Ex donné en 1989 en interro :
Une échelle de 2,38 m de long est fixée verticalement contre un mur
Les barreaux sont épais de 3 cm.
Le premier barreau est à 25 cm du sol et le dernier à 35 cm du haut de l'échelle.
L'intervalle entre 2 barreaux qui se suivent est toujours le même mesure: 22 cm.

Combien cette échelle a-t-elle de barreaux ?

Concernant votre problème du champ rectangulaire, je suis d'accord (si on veut le clore) il faut prévoir une entrée...
Alors disons que c'est un parc à vaches et que la clôture est constituée de 3 ou hauteurs de fil électrifié et que l'entrée se trouve entre 2 piquets et que les fils sont prévus pour être repliables à volonté entre ces 2 piquets.

@+

[EDIT]Ah ! J'ai retrouvé une "variante" plus simple dans mes archives (prise dans un manuel de la même époque) :
BOULANGERIE PATISSERIE
Sur une façade on veut peindre l'inscription ci-dessus. Les lettres ont 20 cm de largeur sauf les I qui ont seulement 5 cm.
L'intervalle entre 2 lettres consécutives d'un même mot est 12 cm et l'intervalle séparant les 2 mots mesure 37 cm. Sachant que la façade mesure 6,90 m de long et que les lettres extrêmes sont à la même distance des bords de la façade, on demande quelle est cette distance.

Dernière modification par yoshi (15-05-2024 21:17:27)

Bernard-maths · 15-05-2024 21:21:04

Youpi ! On va faire des dessins !

B-m

DrStone · 16-05-2024 00:55:39

Bonsoir yoshi.

Je te remercie pour cette réponse toujours aussi pertinente. Une vraie mine d'or notre modérateur !

Si je comprends bien, je me retrouve bien là face à un problème insoluble : aucun moyen de se débarrasser de ce $+1$ qui au final à ce niveau n'est qu'un par cœur «on voit bien que».

J'aime beaucoup ton moyen mnémotechnique avec la main ! Elle est très parlante et j'imagine assez aisément qu'une fois mise en corrélation avec les petits schémas que tu nous proposes ça se retient très bien. Je vais donc te le piquer si ça ne te dérange pas.
Ton exercice a l'air très bien ! Néanmoins, je me demande quel est son taux de réussite… même si j'imagine qu'en 1989 il devait encore y avoir des élèves plutôt sérieux et contentieux prêts à essayer et à se faire du mal. Même si j'imagine sans peine que ça devait pas voler bien haut au niveau des notes…! Non pas qu'ils auraient été idiots mais plutôt parce que tu semblais être un prof un peu vache en interro ! Je vois d'ici ceux qui n'ont pas pris en compte l'épaisseur des barreaux. ^_^

Sinon, dans un style similaire à l'exercice de Bernard-maths j'ai aussi vu passé un énoncé tel que

Un champ rectangulaire a pour dimensions $143$ mètres de longueur et $84$ mètres de largeur. On entoure ce champ de $4$ rangées de fils de fer supportés par des piquets placés à $5$ mètres les uns des autres.
Combien faut-il de piquets ?
Que longueur de fil faut-il ?

Vu que Bernard-maths, justement, semble si enjoué de faire des dessins (et ça se comprend, tout le monde aime faire des dessins !), j'attends avec impatience le sien relativement à cet exercice. En effet, si quelqu'un sait ce qu'il faut comprendre par «On entoure ce champ de $4$ rangées de fils de fer […]» je veux bien qu'il m'explique parce que pour moi c'est un mystère : s'agit-il des quatre côtés du rectangle ? s'agit-il de quatre fois le tour du champ avec des fils éloignés les uns des autres de telle sorte qu'on ait un sandwich de terrain ? s'agit-il de tout autre chose…?
https://www.youtube.com/watch?v=lIh8VPoPBhk

Dernière modification par DrStone (16-05-2024 01:16:10)

vam · 16-05-2024 08:05:22

J'ai l'impression que DrStone n'a jamais vu un champ à vaches ou à chevaux,clôturé par le cultivateur du coin ...:)
On met les pieux. A environ 30 cm du sol, on entoure une 1re fois le champ, 30 cm plus haut on l'entoure une 2e fois, 30 cm plus haut encore une fois, 30 cm plus haut une dernière fois

J'ajoute que quand on a la porte repliable entre 2 poteaux, normalement d'un côté on met 2 poteaux !! pour pouvoir ouvrir et fermer facilement, car on ne replie pas un fil à la fois...donc un poteau supplémentaire ...:)

Dernière modification par vam (16-05-2024 08:43:18)

DrStone · 16-05-2024 09:48:26

Bonjour vam.

Mais c'est bien sûr ! J'étais parti dans une toute autre direction alors que c'était tellement évident… je ne sais pas pourquoi j'ai totalement interprété cet énoncé de travers… Quoi qu'il en soit, merci. ^_^

Donc potentiellement bien $n$ intervalles et toujours $n+1$ poteaux…? x=)

jelobreuil · 16-05-2024 12:24:09

Bonjour à tous,
Attention ! les raisonnements où l'on fait intervenir des +1 ou -1 ne sont valables que pour des lignes ouvertes !
S'il s'agit d'une ligne fermée, comme la clôture d'un champ ou d'un pré à vaches, on a bien évidemment le même nombre de piquets et d'intervalles ! Tout simplement parce qu'alors, la ligne n'a aucune extrémité ...
Bien cordialement, JLB

Bernard-maths · 16-05-2024 13:26:19

Bonjour à tous !

On peut penser aus lignes polygonales, ouvertes ou fermées ... sommets et segments.

B-m

jelobreuil · 16-05-2024 14:54:45

Tout à fait, Bernard !
Bien amicalement, JLB

yoshi · 16-05-2024 15:19:49

Bonjour,

Que dire après cet échange ? rien de plus... sinon revenir sur mon problème d'échelle.
En fait, je dois avouer que le "honte à moi" était une figure de style... ^_^
Non, Je ne suis pas honteux, en étais satisfait parce que rentrant dans la catégorie des exercices jugés "infaisables" au premier regard !
Et pourtant ce n'était qu'un malheureux problème d'échelle, traité en classe avant l'interro (mais pas 24 h avant, s'pas) et décortiqué...
Aux interrogations de DrStone, il en manque une, de taille, pourtant...
<< Mais, cet exercice qui se veut concret n'est en fait que théorique tant qu'on ne nous donne pas l'épaisseur des poteaux !? >>
Et c'est bien pourquoi j'ai rajouté mon exercice à mes schémas...
Problème de l'échelle tel qu'il apparaît dans les manuels :

Là c'est simple à comprendre : on cherche le nombre d'intervalles en faisant une division (exercice d'illustration du sens de la division)
En divisant 175 par 25, on obtient le nombre de fois que 25 est contenu dans 175, soit le nombre d'intervalles et il suffit de se reporter à sa main pour repérer dans quel cas on se trouve. On soustrait alors 1 de ce nombre d'intervalles. Je ne vois pas comment on peut se passer de cette procédure pour obtenir directement un nombre de piquets d'autant qu'ils n'ont pas d'épaisseur.
La suite logique est de reprendre l'exercice en modifiant la longueur du premier et/ou du dernier intervalle.
Là, on conseille à l'élève, de jouer à Alexandre devant le "nœud gordien", on se munit d'une scie pour supprimer les montants de l'échelle qui nous gênent (et en souriant on ajoute qu'il vaut mieux ne pas le faire "en vrai", parce que papa ou maman n'apprécierait pas et que les échelles maintenant sont métalliques et que c'est plus long, plus difficile voire impossible - là, en fait j'ignore si le matériau utilisé le permettrait) et faire disparaître les intervalles perturbants et on se retrouve dans le cas de la main ouverte tous doigts écartés où il faut faire +1.

Après, comment expliquer aux 6e, le cas où on ajoute l'épaisseur des barreaux ?
Là comme pour les besoins de la cause si on ne va amener une échelle en classe (un escabeau peut-être ?)
ou prend une chaise inoccupé, la règle (pour simuler un barreau), on pose la chaise (dont les pieds simulent les montants de l'échelle) sur notre bureau qui (simule le sol), on appelle un volontaire qui devra maintenir la règle horizontalement (sur la tranche) plaquée contre le pied de la chaise et on questionne : nos pieds sont sur le bureau, on lève un pied, on le pose sur le barreau (ici la règle en bois de la classe), où le repose-t-on ?...
Tous se rendent compte qu'on pose le pied sur le barreau, pas dessous....
Ensuite, je remplace la règle par l'équerre et je pose ladite règle sur la tranche sur la chaise pour simuler le barreau suivant. Même question...
Tout ça pour qu'ils remarquent que, d'un barreau au suivant, l'intervalle "utile" c'est la distance entre 2 poses de pieds consécutives (intervalle donné + épaisseur du barreau).
Enfin du concret au schéma sur le tableau :
Tracé de l'échelle avec épaisseur des barreaux (en rouge),
Matérialisation en noir du sommet des barreaux (pour un tableau noir - ou vert -, le noir est à changer pour une autre couleur évidemment).
Je reproduis 2x mon échelle l'une à côté de l'autre, je matérialise les dessus des barreaux. Et j'invite quelqu'un (ou une) à effacer sur le dessin de la deuxième, tout ce qui permet à ce dessin de "ressembler" au dessin de l'exercice déjà fait où on ne parle pas d'épaisseur de barreau. On obtient ceci :

Ensuite, j'écris - si ce n'est déjà fait - l'énoncé de l'exercice avec épaisseurs.
Puis je demande de récrire cet énoncé pour qu'il "colle" à la 2e situation.

Si le prof a un accès conséquent (voire non limité) à la photocopieuse, il peut avoir préparé un résumé de tout ce qui a été fait (l'épaisseur rouge peut être remplacée par des hachures par exemple) et distribuer à la fin les photocopies ou, si la classe fonctionne bien, leur demander (en fournissant des dimensions en carreaux gros ou petits et faire reproduire sur les cahiers...)

Quant au taux de réussite, il n'est pas de 100 %, jamais, (mais pas mauvais, ni pire que d'habitude pour l'interro en question), quel que soit l'exo... et ce n'est qu'un exercice l'interro et placé en bas de page...

@+

Bernard-maths · 16-05-2024 17:34:36

Bonjour à tous !

Je complète l'énoncé de Yoshi, qui a un trou de mémoire !

Les 2 montants de l'échelle sont rectangulaires de 4 cm en largeur d'échelle sur 6 cm en profondeur, espacés de 42 cm.
Ils font 3 cm de diamètre, car ils cylindriques, et enfoncés de 3 cm dans chaque montant.

Après avoir déterminé ce qui est demandé au début, on se demande quel est le poids (la masse ...) en kg, sachant que la densité (volumétrique) du bois est de 0.55 kg/dm³.

Enfin pour la protection du bois on envisage de le couvrir partout de 2 couches de vernis. Sachant que les pots de vernis font 1 dl, combien faut-il de pots ?

Il me semble que j'ai oublié quelque chose ...?

Bernard-maths

yoshi · 16-05-2024 19:04:20

RE,

Allons bon ?
C'était censé être drôle ou une critique déguisée ?
Dans le 1er cas, vu que j'y ai passé 40 min, c'est tombé à plat, désolé...
Sinon, c'était trop long ? trop de redites ? pas clair
Tu attendais un post court genre sketch de Raymond Devos : << Il était une fois... la mienne ! >>
Tiens pour ta peine je t'offre une charade à tiroir (vu notre éloignement géographique, la fin n'étant pas toujours appréciée et provoquant parfois des réactions urticantes de l'interlocuteur, je ne risque pas grand chose)
[Ma minute de vieillard gâteux ON]

▼Pas la peine de lire si vous estimez - à raison - que c'est hors sujet

[Ma minute de vieillard gâteux OFF]

Toujours est-il que je relève l'expression suivante :

la densité (volumétrique) du bois est de 0.55 kg/dm3

Tu t'aventures en Physique ?
Bin, je ne connais pas la "densité (volumétrique)" jamais entendu parler...
Je n'ai pas le niveau ni les titres de Wiwaxia, mais avant que de disposer du CAPES Maths, j'étais l'heureux impétrant du CAPCEG section III, autrement dit j'étais PEGC Math-Physique, alors peut-être que ça manque à ma culture ou que les définitions ont changé, Me Wiwaxia rafraîchira mes connaissances si besoin est...

Toujours est-il que j'ai rabâché des années durant que
- la densité n'avait pas d'unité
- que lorsqu'on parlait de densité (tout court) il était sous-entendu qu'il s'agissait de la densité par rapport à l'eau,
- et que sinon il fallait préciser : "densité par rapport à ..." et que la densité d'un corps A par rapport à un corps B était le rapport de la masse volumique de A par rapport à la masse volumique du corps B, exprimés dans la même unité.
- que la masse volumique d'un corps représentait la masse d'une unité de volume de ce corps.
Dans le système SI (autrefois MKSA) l'unité de base (ou) légale de masse volumique est le kg/m³.

Pour les travaux pour lesquels le bois sera en contact avec l'eau, j'utilise plutôt le châtaignier réputé imputrescible, ce qui ne me dispense pas de lui appliquer un revêtement protecteur comme une lasure couleur... châtaignier
Sa masse volumique : $\approx 600 kg/{m^3}$ en fait un bois considéré comme "léger"...

@+

Borassus · 16-05-2024 19:37:12

Salut Yoshissime !

La charade est proprement fantastique !! :-)
Merci pour le moment de rire joyeux !

Je me permets cependant d'apporter une petite rectification d'écriture, pour rester dans la même logique que celle utilisée pour "pa" et "r" : « Méphisto fait l's .

Pour ce qui est du mot final, le charme de la charade est précisément dans ce mot final. Il faut donc le laisser tel quel et ne pas le réécrire.

Dernière modification par Borassus (16-05-2024 19:42:50)

yoshi · 16-05-2024 22:33:17

Ave Borassus,

Merci d'avoir souri...
La charade à tiroir est un genre particulier, mais celle-là c'est la seule que je connaisse avec un piège final...
Et ça marche, je peux te l'assurer...

Je connais aussi une question piège faussement innocente qui a également un final type "2e effet kiss cool" et qui marche...
Ce sera pour une autre fois...

Maintenant, je m'en vais aller voir si Morphée veut bien me rendre visite..

Read you later !

@+

jelobreuil · 17-05-2024 08:49:45

Bonjour, Yoshi,
Je me permets de joindre mon appréciation de ta charade, identique dans les moindres détails à celle de Borassus !
Bien amicalement, JLB

jelobreuil · 17-05-2024 21:47:59

Bonsoir à tous,
Ne peut-on pas dire que dans un alignement de poteaux ou de traits de graduation, le premier, à l'une des extrémités de l'alignement, n'est là que pour matérialiser le début de l'alignement, et que tous les autres matérialisent la fin d'un intervalle, y compris le dernier ? Cela expliquerait bien, à mon sens, que dans un alignement complet, avec un poteau à chaque extrémité, le nombre de poteaux est égal au nombre d'intervalles augmenté d'une unité ...
Et dans le cas d'un alignement incomplet, sans poteau à chaque extrémité, si chaque poteau matérialise la fin d'un intervalle, c'est le dernier poteau qui manque, et donc le nombre de poteaux est égal au nombre d'intervalles diminué d'une unité.
Je vous laisse vérifier que ce raisonnement s'applique également au cas d'un alignement sur une courbe fermée !
Cela dépasserait sans doute du programme, mais pourquoi ne pas faire appel, en l'adaptant bien entendu, à la notion d'intervalle semi-ouvert sur la droite des réels ? Parce que l'approche que je vous propose y ressemble furieusement, non ?
Bien amicalement, JLB

Bernard-maths · 18-05-2024 08:43:54

Bonjour à tous !

Je vous joins un dessin que je vais commenter un peu ...

AUTREFOIS ... on traçait les figures à la main, avec la règle, le compas ...

Un sement [AB] était un trait limité par 2 petits traits "perpendiculaires" au segment. Ainsi on visualisait bien les points A et B comme intersections de 2 lignes ! On traçait les segments "à la suite".

MAINTENANT les logiciels permettent de jolis tracés.

Revenons à la notion de segment : c'est un morceau de ligne droite compris "entre" les 2 points définissant la droite, et appelés "extrémités" du segment. La notion de "entre" est intuitive ... et se définit par la pratique ! Qu'en dire de plus ???

DONC si on trace un segment, on va tracer 2 points et un "trait" entre ces points. On voit que pour un trait on a 2 points. Si on ajoute un segment à partir du 2ème point, il suffit d'ajouter un trait et un point : le tout fait 2 traits et 3 points !

En continuant, "on voit" bien que pour n segments à la suite, on a (n+1) points !

Le problème à étudier est celui où ob va fermer la ligne brisée : on a pas besoin d'ajouter un point pour tracer le trait, les 2 sommets du segment sont déjà placés !

DONC si la ligne est fermée, il y a autant de sommets que de traits !!!

On peut encore en rajouter si vous voulez ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-05-2024 11:03:05)

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#1 15-05-2024 11:11:05

Des arbres et des intervalles

#2 15-05-2024 13:04:49

Re : Des arbres et des intervalles

#3 15-05-2024 16:02:35

Re : Des arbres et des intervalles

#4 15-05-2024 17:00:59

Re : Des arbres et des intervalles

#5 15-05-2024 18:00:26

Re : Des arbres et des intervalles

#6 15-05-2024 18:03:42

Re : Des arbres et des intervalles

#7 15-05-2024 20:59:08

Re : Des arbres et des intervalles

#8 15-05-2024 21:12:52

Re : Des arbres et des intervalles

#9 15-05-2024 21:12:59

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#10 15-05-2024 21:21:04

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#12 16-05-2024 08:05:22

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#16 16-05-2024 14:54:45

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#21 16-05-2024 22:33:17

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