Forum de mathématiques - Bibm@th.net

LucLuc

Invité

morphisme équivariant.

Bonjour,

Soit [tex]f \ : \ X \to Y[/tex] une application d'un [tex]G_1[/tex] - ensemble [tex]X[/tex] vers un [tex]G_2[/tex] - ensemble [tex]Y[/tex], munie d'un morphisme de groupes, [tex]\varphi \ : \ G_1 \to G_2[/tex].
Par définition,
- [tex]X[/tex] est un [tex]G_1[/tex] - ensemble, si [tex]G_1[/tex] opère sur [tex]X[/tex] par l'action, [tex]\rho_1 \ : \ G \ \times X \to X[/tex].
- [tex]Y[/tex] est un [tex]G_2[/tex] - ensemble, si [tex]G_2[/tex] opère sur [tex]Y[/tex] par l'action, [tex]\rho_2 \ : \ G \ \times Y \to Y[/tex].

Connaissez vous des cours en ligne, où des articles publiés sur le net, où l'on aborde en détail, la notion d'équivariance suivante, ( que je ne connais pas )
. [tex]f[/tex] est [tex]G_1 - G_2[/tex] - équivariante, si et seulement si, pour tout [tex](g,x) \in G_1 \times X[/tex], [tex]f( \rho_1 (g) (x)) = \rho_2 ( \varphi (g) ) (f(x))[/tex].

Si [tex]G_1 = G_2 = G[/tex], et [tex]\varphi = \mathrm{id}_G [/tex], alors, on a la notion d'application [tex]f \ : \ X \to Y[/tex], qui est [tex]G[/tex] - équivariante, et qu'on rencontre souvent dans les cours de théorie des groupes.

Merci d'avance.

LucLuc

Invité

Re : morphisme équivariant.

Pardon, je corrige un passage,

Par définition,
- [tex]X[/tex] est un [tex]G_1[/tex] - ensemble, si [tex]G_1[/tex] opère sur [tex]X[/tex] par l'action, [tex]\rho_1 \ : \ G_1 \ \times X \to X[/tex].
- [tex]Y[/tex] est un [tex]G_2[/tex] - ensemble, si [tex]G_2[/tex] opère sur [tex]Y[/tex] par l'action, [tex]\rho_2 \ : \ G_2 \ \times Y \to Y[/tex].

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : morphisme équivariant.

Bonsoir,
Que veux-tu faire avec ça ?
Remarque que tout $G_2$-ensemble devient automatiquement un $G_1$-ensemble via le morphisme $\varphi$, et donc que tes applications $G_1 - G_2$ équivariantes sont alors tout simplement des applications équivariantes pour l'action de $G_1$.

LucLuc

Invité

Re : morphisme équivariant.

Bonjour Michel,

Que veux-tu faire avec ça ?

Je compte d'abord, acquérir les notions de base relativement à ce cours que je cherche, afin de réussir à construire un morphisme entre deux produits croisés de [tex]C^*[/tex] - algèbres [tex]C_0 (X)[/tex] ( resp. [tex]C_0 (Y)[/tex] ) par un groupe [tex]G_1[/tex] ( resp. [tex]G_2[/tex] ), défini par, [tex] C_0 (f) \rtimes \varphi \ : \ C_0 (X) \rtimes G_1 \to C_0 (Y)[/tex].

Remarque que tout $G_2$-ensemble devient automatiquement un $G_1$-ensemble via le morphisme $\varphi$, et donc que tes applications $G_1 - G_2$ équivariantes sont alors tout simplement des applications équivariantes pour l'action de $G_1$.

Si cela s'avère être faisable, on aura tout de même deux actions distinctes [tex]\rho_1[/tex] et [tex]\rho_2[/tex], pour [tex]G_1[/tex], et non simplement une, définissant une application équivariante pour l'action de $G_1$. Non ?

Merci d'avance.

LucLuc

Invité

Re : morphisme équivariant.

Bonjour Michel,

Que veux-tu faire avec ça ?

Je compte d'abord, acquérir les notions de base relativement à ce cours que je cherche, afin de réussir à construire un morphisme entre deux produits croisés de [tex]C^*[/tex] - algèbres [tex]C_0 (X)[/tex] ( resp. [tex]C_0 (Y)[/tex] ) par un groupe [tex]G_1[/tex] ( resp. [tex]G_2[/tex] ), défini par, [tex] C_0 (f) \rtimes \varphi \ : \ C_0 (X) \rtimes G_1 \to C_0 (Y) \rtimes G_2[/tex].

Remarque que tout $G_2$-ensemble devient automatiquement un $G_1$-ensemble via le morphisme $\varphi$, et donc que tes applications $G_1 - G_2$ équivariantes sont alors tout simplement des applications équivariantes pour l'action de $G_1$.

Si cela s'avère être faisable, on aura tout de même deux actions distinctes [tex]\rho_1[/tex] et [tex]\rho_2[/tex], pour [tex]G_1[/tex], et non simplement une, définissant une application équivariante pour l'action de $G_1$. Non ?

Merci d'avance.