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jeveuxpasdonnermonnom

Invité

densité de Q dans R

bonjour, j'ai trouvé un exercice dans un de mes TD qui me demandais de prouver la densité de Q dans R et j'en suis venu à cette démonstration que j'ai essayer de faire seul.
Je m'en remet donc à vous pour savoir si cette démonstration est correcte.
Merci de votre aide !!
(si j'ai écrit des absurdité soyez pas méchant mdrr)

Définition (1):
On dit d'un ensemble A qu'il est dense dans B, un ensemble ordonnée si et seulement si
$A \subseteq B$ et $\forall (x,y) \in B^2, x < y, \exists z \in A | x < z < y$.

Définition (2):
On dit que deux nombres $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ sont égaux lorsque $\forall n \in \mathbb{N},
\lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor$.

Soit $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tel que $x < y$.

$1^{er}$ cas :
$\lfloor x \rfloor \neq \lfloor y \rfloor$\\
On pose alors $q = \frac{\lfloor 10x \rfloor + 1}{10}$,\\
ce qui nous donne bien l'inégalité souihaité : $x < q < y$\\

$2^{e}$ cas :
$\lfloor x \rfloor = \lfloor y \rfloor$

Or on sait selon l'hypothèse de départ que $x < y$.
Donc $\exists n \in \mathbb{N},
\lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor$.(2)\\
On pose $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que
$\forall n \leq n_0, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor$ et
$\lfloor x10^{n_0+1} \rfloor \neq \lfloor y10^{n_0+1} \rfloor$.\\

On pose alors
$q = \frac{\lfloor x10^{n_0+2} \rfloor + 1}{10^{n_0+2}}$.\\

ce qui nous donne bien l'inégalité souhaitée : $x < q < y$.

Donc $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

jeveuxpasdonnermonnom

Invité

Re : densité de Q dans R

oulah my bad petit probleme avec Latex je ne sais pas ce qu'il s'est passé sorry...

Fred

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Re : densité de Q dans R

Bonjour,

  J'ai essayé de corriger ton code Latex. Il faut juste écrire comme si tu écrivais normalement et ajouter des balises dollars si tu veux avoir des formules mathématiques.

F.

Fred

Administrateur

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Re : densité de Q dans R

Re-

  L'idée est correcte, mais comment justifies-tu le point (2) : il existe $n\in\mathbb N$ tel que
$\lfloor 10^n x \rfloor \neq \lfloor 10^n y\rfloor$?

F.

jeveuxpasdonnermonnom

Invité

Re : densité de Q dans R

re bonjour alors pour moi ça allaiçt de paire avec que fait que si de nombres réelles x,y sont égaux alors

$\forall n \in \mathbb{N},\lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor $

et la négation de cette phrase c'est

$\exists n \in \mathbb{N},\lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor $

Fred

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Re : densité de Q dans R

Re

il y a un problème de logique dans ce que tu écris : si deux nombres sont égaux alors...
Ceci n'entraîne pas forcément si deux nombres sont différents alors....
Il faut que ta phrase soit : deux nombres sont égaux si et seulement si.....
Est-ce que cette propriété te paraît évidente ou l'as tu démontrée ?

F.

jeveuxpasdonnermonnom

Invité

Re : densité de Q dans R

a vrai dire j'avais supposé cette proposition vrai,
j'ai essayer de le démontrer
je ne sais pas du tout si mon raisonnement est bon,

[tex]
\begin{document}

On souhaite montrer que deux nombres réelles x et y sont égaux si et seulement si
$\forall n \in \mathbb{N},
\lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor$.\\
Donc
$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, x=y
\Longleftrightarrow
\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor$

$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,
(
x=y
\Longrightarrow
\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor)
$
et
$(\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor
\Longrightarrow
x=y)$ \\
Donc \\
$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, (
x \neq y
$
ou
$
\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor)$
et
$(\exists n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor
$
ou
$
x=y )$ \\
alors \\
$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \\((
x \neq y
$
ou
$
\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor)$
et
$\exists n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor)
$
ou\\
$
((
x \neq y
$
ou
$
\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor)$
et
$
x=y )$
\\
On en conclue alors que \\
$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \\
((
x \neq y
$
et
$\exists n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor)$
ou
$
(\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor$
et
$\exists n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor)
$
ou\\
$
((
x \neq y
$
et
$x=y)$
ou
$(
\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor$
et
$x=y )$\\
ce qui signifie que\\
$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \\
(
x \neq y
$
et
$\exists n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor)$\\
ou\\
$(
\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor$
et
$x=y )$\\

De ce raisonnement on en conclue que pour démontrer la proposition initiale il suffit de démontrer que
$
\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,
(
x \neq y
$
et
$\exists n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor)$.\\

Soient $x$ et $y$ deux réelles tel que $x = y(1)$ et $\exists n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor(2°$.\\
On pose $n \in \mathbb{N}$tel que (2) soit vérifié.\\
On a selon (1) $x=y$, donc $x10^n = y10^n$ or une fonction ne peut pas admettre plusieurs images pour une même valeure donc $\lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor$. \\
Ce qui signifie que (2) est Faux.\\

Donc $
\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,
(
x \neq y
$
et
$\exists n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor \neq \lfloor y10^n \rfloor)$\\

Alors
$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, x=y
\Longleftrightarrow
\forall n \in \mathbb{N}, \lfloor x10^n \rfloor = \lfloor y10^n \rfloor$
\end{document}
[/tex]

Fred

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Re : densité de Q dans R

Re-

  J'avoue ne pas comprendre ce que tu as fait (il faut dire que l'écriture n'est pas très claire).
Comme je te l'ai dit, il ne faut pas mettre les balises \ begin{document} et \ end{document},
et les balises [ tex] et [ /tex] sont inutiles si tu mets des dollars partout.
Tu devrais t'inscrire, cela te permettra de rectifier ton code après écriture pour le rendre plus lisible.

Cela dit, je doute que ce que tu as écrit soit vrai. Si $x\neq y,$ il faut construire explicitement $n$ tel que
$\lfloor 10^n \rfloor\neq \lfloor 10^n y\rfloor.$ Et ce $n$ va dépendre par exemple de $|y-x|.$

F.