Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ju20081977

Invité

Problème d'arithmétique

Bonjour,

Je suis bloquée à la première question de mon dm de maths et j'en ai besoin pour tout le dns. Pouvez vous m'aider svp ?

~
Dans ce problème on note R [X] l'ensemble des polynômes formels à une indéterminée à coefficietis ronis que Con confondra avec les fonctions polynômes de IR vers R.

n désignera un entier naturel non nul.

On note mathbb R n - 1 [X] l'ensemble des polynômes de R [X] de degré strictement inférieur à

On étudie dans ce problèmes les couples F_{n}, G_{n} ) vérifiant:

( E n ): (1 - X) ^ n * F_{n} + X ^ n * G_{n} = 1et(F_{n}, G_{n}) in( mathbb R n-1 ,[X])^ 2

Arithmétique

1. (a) Du calcul de ((1 - X) + X) ^ (2n - 1) déduire l'existence d'un couple (F_{n}, G_{n}) solution de (En). On ne demande pas ici de calculer les coefficients de ces polynômes.

Merci de m'aider
Bonne journée

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Problème d'arithmétique

Bonsoir,

As-tu essayé de développer ce qu'on te propose en utilisant la formule du binôme ?

Ju20081977

Invité

Re : Problème d'arithmétique

En effet j'ai essayé et j'ai obtenue une expression qui ressemble à En
Le problème est que je n'arrive pas à la séparer et à faire ressortir exactement le bon Fn et le bon Gn...
Je trouve différentes expressions sans savoir laquelle est bonne.

La question suivante demande d'expliciter F1 et F2.

Comme je ne suis pas sûre de mes expressions de Fn et Gn, je ne peux pas continuer le DNS puisqu'il faut s'appuyer dessus tout au long...

Merci à vous

chahine28888004

Invité

Re : Problème d'arithmétique

Bonsoir,

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ alors $((1- x) + x)^{2n-1}=1$ d’une part

\[
= \sum_{k = 0}^{2n - k} \binom{2n - 1}{k} \cdot (1 - x)^k \cdot x^{2n - 1 - k} \text{ d'autre part}
\]

Montrons l'existence de $(1 - x)^n \cdot F_{n} + x^n \cdot G_{n} = 1$

on sait alors que
\[
1 = \sum_{k = 0}^{2n - 1} \binom{2n - 1}{k} \cdot (1 - x)^k \cdot x^{2n - 1 - k}
\]

or $k-n\geq0$ ssi $k\geq n$
et $2n-1-k-n\geq0$ ssi $k\leq n - 1$

donc

\[
1= x^n \sum_{k = 0}^{n-1} \binom{2n -1}{k} \cdot (1-x)^k \cdot x^{n-1 -k} + (1 - x)^k \cdot \sum_{k= n}^{2n- 1} \binom{2n - 1}{k}\cdot (1 - x)^{k - n} \cdot x^{2n- 1 -k}
\]

donc en identifiant $F_n$ et $G_n$ aux sommes respectives, on voit qu’ils sont bien définis et en étudiant le degré de chacun on montre alors l’existence du couple solution de l’équation

Dernière modification par yoshi (05-05-2024 18:06:59)

chahine28888004

Invité

Re : Problème d'arithmétique

pardon on retrouve bien :
\[
1= x^n \sum_{k = 0}^{n-1} \binom{2n -1}{k} \cdot (1-x)^k \cdot x^{n-1 -k} + (1 - x)^n \cdot \sum_{k= n}^{2n- 1} \binom{2n - 1}{k}\cdot (1 - x)^{k - n} \cdot x^{2n- 1 -k}
\]

j’espère ne pas avoir fait d’autres erreurs (x -> X)