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Freezebi

Invité

Fonction continue

Bonjour à tous !
Je me suis attaqué à un Lemme pas très évident, nécessaire pour démontrer un théorème plus important.
Voici le Lemme en question : "Soit I un intervalle non vide de R et g : I → R, une fonction monotone. Si g(I) est un intervalle,
alors g est continue sur I."

Ayant accès à une correction qui raisonne par contraposée, je voulais tout de même savoir si ma démonstration est bien juste :

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Soit g : I → R une fonction monotone telle que g(I) est un intervalle
Supposons que g est croissante. Nous savons alors que :
∀ x, y ∊ I, x ≥ y ⇒ g(x) ≥ g(y)
∀ a, b ∊ g(I), vérifiant a ≤ b, ∀ y ∊ [ a ; b ], nous avons y ∊ g(I)

Soit z ∊ I quelconque.

Soit [tex](x_n)[/tex] une suite quelconque à valeurs dans I et convergeant vers z :
∀ η > 0, Ǝ [tex]n_o[/tex] ∊ N, ∀ n ≥ [tex]n_o[/tex], -η ≤ [tex]x_n[/tex]-z ≤ η

Fixons ε > 0 quelconque.

1er cas : Supposons que g(z) est un minimum de g(I).
On déduit alors que ∀ n ∊ N, g(z) ≤ g([tex]x_n[/tex])
Donc ∀ n ∊ N, g(z)-ε ≤ g([tex]x_n[/tex])

2ème cas : g(z) n’est pas le minimum de g(I)

Considérons alors g(y) élément de g(I) tel que g(y) < g(z).

Posons T = max{ g(y) ; g(z)-ε }. Nous savons que g(y) ≤ T < g(z)
( T < g(z) car g(y) < g(z) et g(z)-ε < g(z) )

Puisque g(I) est un intervalle, on déduit alors que T ∊ g(I), donc Ǝ η > 0, T = g(z-η)
(rappel : T < g(z) avec g croissante)

Nous savons que [tex](x_n)[/tex] converge vers z, donc Ǝ [tex]n_o[/tex] ∊ N, ∀ n ≥ [tex]n_o[/tex], -η ≤ [tex]x_n[/tex]-z ≤ η
⇔ Ǝ [tex]n_o[/tex] ∊ N, ∀ n ≥ [tex]n_o[/tex], z-η ≤ [tex]x_n[/tex] ≤ z+η

Puisque g est croissante, nous savons alors que ∀ n ≥ [tex]n_o[/tex], T = g(z-η) ≤ g([tex]x_n[/tex])

Puisque g(z)-ε ≤ T (car T = max{g(y);g(z)-ε}), on déduit alors que ∀ n ≥ [tex]n_o[/tex], g(z)-ε ≤ g([tex]x_n[/tex])

3ème cas : g(z) est le maximum g(I)
Même raisonnement que pour le 1er cas, ∀ n ∊ N, g([tex]x_n[/tex]) ≤ g(z)+ε

4ème cas : g(z) maximum n'est pas maximum de g(I)
Même raisonnement que pour le 2nd cas, il existe un entier naturel [tex]m_o[/tex] tel que ∀ n ≥ [tex]m_o[/tex], g([tex]x_n[/tex]) ≤ g(z)+ε

On conclut alors que, pour les cas quatres cas possibles :
∀ n ≥ [tex]w_o[/tex] = max{ [tex]m_o[/tex] ; [tex]n_o[/tex] }, g(z)-ε ≤ g([tex]x_n[/tex]) ≤ g(z)+ε

Par définition, (g([tex]x_n[/tex])) converge vers g(z).
Par caractérisation séquentielle, g est continue en z.
Puisque z est choisi arbitrairement dans I, on conclut donc que g est continue sur I.

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Je vous remercie de votre attention !

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 802

Re : Fonction continue

Bonsoir,

Ca me parait correct.

Roro.

Freezebi

Invité

Re : Fonction continue

Merci pour ton retour Roro !