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ander877563

Invité

aide svp

Bonjour ,
s'ils vous plait , dans cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=oBG5H6nDyhk
j'ai pas compris malgré ce qui a écrit le prof , pourquoi o(x4)=o(u4) ?
c'est exactement à partir de minute 22.25 .

Roro

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Re : aide svp

Bonsoir,

Lorsque tu fais le produit de deux développements limités, par exemple $f(x)=P(x)+o(x^n)$ et $g(x)=Q(x)+o(x^n)$ alors tu peux écrire $(fg)(x) = R(x) + o(x^n)$ où le polynôme $R$ est le produit $PQ$ dans lequel tu as enlevé tous les termes de degré supérieur à $n$ (puisque ces termes sont déjà dans $o(x^n)$).

Ici, tu as $(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4))^4$ à calculer.

Si tu veux faire le calcul complet, tu peux t'amuser à développer tous les termes (avec une formule du style $(a+b+c)^4=a^4+4a^3b+...$). Tu auras énormément de termes mais beaucoup d'entre eux seront des monômes de degré plus grand que 4, et donc à mettre dans $o(x^4)$.

En pratique, il ne restera qu'un seul terme : $(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4))^4 = x^4 + o(x^4)$.

Roro.

Dernière modification par Roro (02-05-2024 18:06:28)

ander877563

Invité

Re : aide svp

Bonjour , mais tu n'a pas répondu à mon question, j'ai dit comment il a montré que o(x4)=o(u4)??
Pourtant on sait que u4=x4+o(x4) .
Comment on peut montrer ca, dans la vidéo, j'ai pas compris ce qu'il a dit .

Michel Coste

Membre Expert

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Re : aide svp

Bonsoir,
On peut revenir à la définion des $o$.
On a $u^4= x^4+ \epsilon_1(x)\,x^4$ avec $\epsilon_1(x)\to 0$ quand $x\to 0$.
Un $o(u^4)$ est une fonction de la forme $\epsilon_2(u)\,u^4$ avec $\epsilon_2(u)\to 0$ quand $u\to 0$. Or
$$\epsilon_2(u(x))\,u(x)^4= \epsilon_2(u(x))(1+\epsilon_1(x)) \,x^4$$et je te laisse vérifier que $\epsilon_2(u(x))(1+\epsilon_1(x)) \to 0$ quand $x\to 0$.

Roro

Membre expert

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Re : aide svp

Re-bonsoir,

Disons que j'ai regardé ce qu'il racontait à partir de minute 22.25 alors que ta question parle de ce qui suit (à partir de 22.40)...

En gros, il utilise le fait que si $f\sim g$ alors $o(f)=o(g)$. Tu peux montrer cette implication en écrivant simplement les définitions de $\sim $ et de $o$...

Roro.

P.S. Je viens de voir la réponse de Michel qui correspond plus directement à ce qui est dit dans la vidéo.

Dernière modification par Roro (02-05-2024 19:12:00)