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Lune66

Invité

Loi de probabilité.

Bonsoir à tous,

Soit [tex](X_1 , X_2 , X_3 , X_4 )[/tex] un vecteur aléatoire dont les composants sont mutuellement indépendants et de même loi de Rademacher valant  [tex]\pm 1[/tex] et de probabilité [tex]\dfrac{1}{2}[/tex].
Quelle est la loi de [tex]f(X_1 , X_2 , X_3 , X_4 ) = X_1 X_2 - X_3 X_4[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Messages : 7 352

Re : Loi de probabilité.

Bonjour,

  Je vais noter $Y=X_1X_2-X_3X_4.$ La première chose à se demander, ce sont les valeurs prises par $Y$.
C'est assez facile de voir que, puisque $X_1X_2\in\{-1,1\}$ et $X_3X_4\in\{-1,1\}$, alors $Y\in\{-2,0,2\}$.
Cherchons ensuite $P(Y=2)$. On a $Y=2\iff (X_1X_2=1)\textrm{ et }(X_3X_4=-1)$. Par indépendance, on a donc
$$P(Y=2)=P(X_1X_2=1)\times P(X_3X_4=-1).$$
Reste à déterminer par exemple $P(X_1X_2=1)$ ce qui peut se faire sur le même modèle.

F.