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Borassus

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Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

J'ai utilisé tout à l'heure dans cette (monumentale :-) discussion sur le pendule de Foucault la valeur $\dfrac {\sqrt 2} 2$ pour le sinus de 45°, alors que la valeur "vraie", issue de la définition du sinus, est $\dfrac 1 {\sqrt 2}$.

D'où vient cette convention selon laquelle il ne faut pas mettre de racine au dénominateur ?

Merci pour vos réponses éclairant ma lanterne.

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
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L'exigence précède l'expérience.

Glozi

Invité

Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Bonjour,
Pourquoi pas de signe au denominateur ? Pourquoi pas de nombre à virgule au denominateur ? Pourquoi pas de racine au denominateur ?
La reponse selon moi est que, pour un humain, la division est plus "dure" que la multiplication. Il vaut mieux alors n'écrire que les divisions les plus simples (celles par des entiers positifs) si on a le choix. Attention, je ne prétends pas que c'est la vrai raison...
Ex : la plupart savent que $\sqrt{2}\simeq 1.41$, de là on voit facilement ce que donne $\sqrt{2}/2$ car on sait diviser par $2$ des nombres compliqués mais si on donne $1/\sqrt{2}$ je ne vois pas vraiment de tête ce que ça fait.

Sinon c'est quoi la "valeur vraie issue de la def du sinus" ?
Bonne journée

Bernard-maths

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Bonjour !

100% avec Glozi !

C'est ce qu'on nous demandait de faire, rendre rationnels les dénominateurs ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (26-04-2024 07:56:27)

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Borassus

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Bonjour Glozi et Bernard,

Merci de ta réponse, Glozi.

Effectivement, d'un point de vue calcul mental d'approximation, il est plus simple de calculer $\dfrac {\sqrt 2} 2$, soit $\approx 0,705$ — combien d'élèves connaissent cette valeur ?? —, que $\dfrac 1 {\sqrt 2}$.

Mais à une époque où le calcul mental d'approximation a malheureusement disparu — qui sait encore, du moins parmi les élèves, calculer 4/3 en tant que 1 + 1/3 ? —, pourquoi faut-il systématiquement écrire  $\dfrac {\sqrt 2} 2$ et non $\dfrac 1 {\sqrt 2}$, au point de se faire corriger sur la copie si on écrit la seconde forme ?

Et donc l'inverse du sinus de 45° (ou du cosinus de 45°) doit s'écrire $\dfrac 1 {\dfrac {\sqrt 2}2} = \dfrac 2 {\sqrt 2} = \dfrac {2 \sqrt 2} 2 = \sqrt 2$ ,  alors qu'il est si simple d'écrire $\dfrac 1 {\dfrac 1 {\sqrt 2}} = \sqrt 2$ !!

Par valeur issue de la définition du sinus, j'entendais le fait que dans un triangle rectangle isocèle de côté $a$, l'hypoténuse est égale à $\sqrt 2 a$, et donc que le sinus de 45° est égal à $\dfrac a {\sqrt 2 a} = \dfrac 1 {\sqrt 2}$.

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jelobreuil

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Bonjour Borassus,
Effectivement, la raison avancée par Glozi me semble tout à fait pertinente ... Mais il est vrai qu'en faire un règle d'or intangible me semble un peu exagéré, dans la mesure où rien n'interdit en fait à un nombre irrationnel de se trouver au dénominateur d'une fraction, voir les nombreuses formules de physique (électromagnétisme notamment) où l'on trouve $\pi$ dans cette situation ...
D'autre part, pour la valeur approchée de $\sqrt2$, je préfère $1,414$, ce qui donne pour le sinus de $\pi$/4 la valeur $0,707$ plus exacte et plus "parlante", donc peut-être mieux mémorisable, selon moi, que $0,705$ ...
Bien amicalement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (26-04-2024 09:49:49)

Borassus

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Salut jelobreuil,

Plaisir de te retrouver !  :-)

Je me disais aussi que 0,707 est plus facile à mémoriser (et plus juste) que 0,705.

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Borassus

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Mais il est vrai qu'en faire un règle d'or intangible me semble un peu exagéré,

Par ce que j'observe, une partie importante des élèves est littéralement terrorisée par les diktats de leur prof : « Vous devez écrire comme cela, et pas autrement ; sinon je vous retire des points ! »

Je ne vois jamais des profs expliquer des écritures équivalentes (avec éventuellement leurs nuances), en laissant les élèves choisir celles qui leur conviennent le mieux.

On est vraiment dans une logique de "maths fouettardes" !  :-(

Dernière modification par Borassus (26-04-2024 11:05:09)

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Borassus

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Exemple d'inquiétude que je rencontre : « Est-ce qu'au Bac on va me retirer des points si j'écris directement la dérivée d'un produit sans passer par u, u', v, v' ? Le prof nous a dit que oui. »

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Bernard-maths

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Bonjour !

Cela dépend pour moi du contexte : a-on demandé des justificatifs ? A quel niveau de calcul est-on ?

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vam

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Hello,
il y a eu une époque pas si lointaine, où on disait, on transforme si ça sert à quelque chose

donc rester avec avec $\dfrac{1}{\sqrt 2}$ quand on sait qu'ensuite on doit prendre l'inverse est plus pertinent que de vouloir mettre un 2 au dénominateur

Beaucoup devraient prendre l'habitude de dire : on peut, et non on doit...personnellement c'est ce que je faisais.

Bernard-maths

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Bonsoir !

C'est aussi une bonne façon de voir quand on sait anticiper les calculs ...

B-m

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jelobreuil

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Bonsoir à tous,
Sur les "diktats" des profs : je pense qu'un nombre non négligeable d'entre eux se raccrochent exclusivement à ce qu'ils ont compris et appris eux-mêmes au cours de leurs études, et comme cela fait déjà un certain temps que l'enseignement des maths se dégrade de plus en plus (d'après ce que je lis ici et sur les-mathématiques.net), ils ne sont plus sûrs que de cela, et de rien d'autre !
Et si l'on y ajoute l'espèce de terreur exercée par certains inspecteurs aux idées très tranchées (mais parfois fausses ...) sur l'art et la manière de faire cours et sur le contenu de l'enseignement, idées inspirées d'une certaine école de "pédagogie" ... Il n'est pas surprenant que ces profs se comportent ainsi !
Et non seulement, Borassus, de maths "fouettardes", mais de maths "comptables" et purement utilitaires : ce qu'on apprend ne doit servir qu'à gagner un max de points sur n'importe quelle copie, et tant pis si l'on ne comprend pas, du moment qu'on connaît la seule réponse qui le permet !
Bien cordialement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (26-04-2024 19:03:45)

Borassus

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Bonjour !

Cela dépend pour moi du contexte : a-on demandé des justificatifs ? A quel niveau de calcul est-on ?

Bonsoir Bernard,

Je ne saisis pas bien le sens de tes questions ? Peux-tu les préciser, s'il te plaît ?

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Borassus

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Sur les "diktats" des profs : je pense qu'un nombre non négligeable d'entre eux se raccrochent exclusivement à ce qu'ils ont compris et appris eux-mêmes au cours de leurs études, [...]

Hello Jihèlbé  :-)

Pas seulement...

Par exemple, j'ai eu l'année dernière une élève dont le prof assénait face à la moindre évocation d'une autre écriture ou logique possible « Ecoutez, je suis prof agrégé et j'enseigne depuis vingt-cinq ans. Vous n'allez donc pas m'apprendre mon métier ! »

Bien, Monsieur ! Oui, Monsieur !

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Borassus

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Hello,
il y a eu une époque pas si lointaine, où on disait, on transforme si ça sert à quelque chose

donc rester avec avec $\dfrac{1}{\sqrt 2}$ quand on sait qu'ensuite on doit prendre l'inverse est plus pertinent que de vouloir mettre un 2 au dénominateur

Beaucoup devraient prendre l'habitude de dire : on peut, et non on doit...personnellement c'est ce que je faisais.

Bonsoir Vam,

Maintenant on ne laisse plus le choix : on donne systématiquement dans les tables de valeurs remarquables $\dfrac{\sqrt 2}{2}$, et les élèves ne savent pas qu'en fait il s'agit de $\dfrac{1}{\sqrt 2}$.

Ils ne savent pas non plus d'où viennent les valeurs   $\dfrac 1 2$   $\dfrac{\sqrt 2}{2}$   $\dfrac{\sqrt 3}{2}$

On leur balance ces valeurs, en précisant que les sinus et cosinus correspondants doivent être appris par cœur.  Amen !

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jelobreuil

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Re : Pourquoi racine carrée de 2 sur 2, et non 1 sur racine carrée de 2 ?

Borassus, cela doit faire se retourner dans sa tombe notre Montaigne, qui souhaitait qu'un "conducteur" (c'est-à-dire un éducateur) "eût une tête bien faite plutôt que bien pleine" ...
On est en train de fabriquer plusieurs générations perdues, dans tous les sens du terme !