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ArthurPrime

Invité

DS 1 Bourrigan : Equation fonctionnelle

Bonjour,

Ayant entrepris de m'entraîner sur des D.S., on m'a montré le site de Mr Bourrigan.
J'ai commencé le 1er et il s'avère que même dans la correction, je ne comprends pas pour les questions 15 (en déduire, celle avec la triple composition par f =f) et 19.
https://bourrigan.fr/docs/ds01-equation … -sujet.pdf
https://bourrigan.fr/docs/ds01-equation … orrige.pdf

J'ai l'impression qu'il utilise dans ces questions une linéarité de f qu'on a jamais démontré qui facilite la tâche.
Si quelqu'un a une explication, je suis perdu.

Bonne fin de journée.

Dernière modification par ArthurPrime (25-04-2024 12:42:24)

Fred

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Re : DS 1 Bourrigan : Equation fonctionnelle

Bonjour,

  Que ne comprends-tu pas dans la correction de l'exercice 15 ? A aucun moment la linéarité n'est utilisée...
La question précédente donne $f(f(f(x)))=f(x)$ et donc si on suppose $f$ injective, avec $y=f(f(x))$, on a $f(y)=f(x)$
et donc $y=x$, soit $f(f(x))=x$ - ça n'utilise pas du tout la linéarité de $f$.
Ensuite, on utilise à nouveau la question précédente, plus précisément $f(f(x))=1-x$.

F.

ArthurPrime

Invité

Re : DS 1 Bourrigan : Equation fonctionnelle

Bonjour, je ne comprends pas alors comment on démontre triple f = f. L'injectivité découle de la question précédente, je sais mais c'est vraiment triple f, j'ai la 1ère démo de la question comme quoi double f=1-f mais après galère.

Bonne j.

Fred

Administrateur

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Re : DS 1 Bourrigan : Equation fonctionnelle

Re-
  Tu as $f(f(x))=1-f(x)$ pour tout $x\in \mathbb R$. Je le réécris $f(f(y))=1-f(y)$ pour tout $y\in \mathbb R$ et je l'applique à $y=f(x)$.
J'obtiens $f(f(f(x)))=1-f(f(x))=1-(1-f(x))=f(x)...$.

F.

ArthurPrime

Invité

Re : DS 1 Bourrigan : Equation fonctionnelle

Bonsoir,
Effectivement c'est évident, je ne l'avais pas vu. Merci beaucoup !
Bonne soirée