Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Maickelmai6588

Invité

Un exemple de fonction non continue par morceaux

Sur internet, je trouve un exemple de fonction non continue par morceaux :
f(x)= E(1/x) si x différent de 0
          0 si x=0.

J'ai cherché sur internet la raison de non continuité de cette fonction, j'ai trouvé : f non continue par morceaux car il y'a une infinité de morceaux.

Je comprends pas ce "infinité de morceaux" , la définition de continuité par morceaux dit que il suffit qu'il existe une subdivision tel que elle est continue sur chaque morceau.

Merci de votre aide svp.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Un exemple de fonction non continue par morceaux

Bonjour,

  Par définition, une fonction continue par morceaux sur un segment admet un nombre
fini de points où elle est discontinue. Ici, ta fonction est discontinue en tous les $1/n,$ $n\in\mathbb N^*$. Elle ne peut donc pas être continue par morceaux sur $[0,1]$.

F.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 901

Re : Un exemple de fonction non continue par morceaux

Bonjour !

Cette définition est bien complète ...

Peut-on étendre au cas où les f(a_i) auraient des valeurs non limites en a_i des f(x) sur les intervalles ouverts ]a_i-1,a_i[ et/ou ]a_i,a_i+1[ ... ?

Par exemple : f(x) = E(x) si x non entier, et f(n) = n - 0,5 pour x = n entier.

PS : il manque un P à Plus généralement ... (après les Exemples)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Un exemple de fonction non continue par morceaux

Re

  Oui la fonction que tu proposes est bien continue par morceaux.

F

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 901

Re : Un exemple de fonction non continue par morceaux

Bonjour à tous !

@ Maikel..., "ta" fonction n'est pas continue par morceaux parce que sur tout intervalle [0, ε[ E(1/x) donne une infinité de discontinuités.

Par contre si on définit la fonction sur un intervalle [ε, +∞[ avec ε > 0, alors l'infinité de discontinuités proche de zéro disparaît !

Et du coup la fonction devient continue par morceaux (morceau = ntervalle).

B-m

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Un exemple de fonction non continue par morceaux

Merci Bernard, je viens de corriger le P.

F.