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#1 06-04-2024 10:05:45
- Dastan777
- Membre
- Inscription : 06-04-2024
- Messages : 12
Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Bonjour tout le monde,
Je suis en pleine révision et je m'entraîne actuellement sur des annales. Je m'en sors bien globalement sauf sur certaines questions qui reviennent assez souvent et qui concernent de montrer qu'une telle loi appartient (ou non) à la famille exponentielle. J'ai réussi que pour la loi de Poisson...
Pouvez-vous m'aider svp ? Je n'arrive pas à le faire par identification, pourtant c'est censé être assez facile.
https://drive.google.com/file/d/1egVtQV … sp=sharing
Merci infiniment !
Dastan
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#3 09-04-2024 20:45:21
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 336
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Bonsoir,
Ce serait bien de nous dire ce qui te pose problème.
Par exemple, dans le premier cas, tu exprimes la racine carré à l'aide d'une exponentielle
($\sqrt a=\exp(\ln(a)/2)$), tu écris tout sous une seule exponentielle, tu développes le carré,
et tu identifies. Le paramètre $\theta$ doit s'exprimer en fonction de $\mu$, le paramètre $\phi$ en fonction de $\sigma$.
F.
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#4 17-04-2024 09:44:16
- Dastan777
- Membre
- Inscription : 06-04-2024
- Messages : 12
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Pouvez-vous m'aider en privé svp ? Ce serait rémunéré.
C'est très important car il est certain que je vais avoir une de ces questions à mon examen dans 10 jours.
Merci beaucoup !
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#5 17-04-2024 10:10:09
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 376
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Re,
Pouvez-vous m'aider en privé svp ?
Pourquoi donc ? Ce n'est pas dans l'esprit d'un forum...
Ce serait rémunéré.
et donc à plus forte raison...
Je comprends parfaitement ton souci, mais il semble bien que tu cherches une mauvaise réponse à un vrai problème.
Fred, notre admin, t'a proposé un plan : pourquoi n'essaies-tu pas de l'appliquer et si nécessaire de revenir avec ce que tu as fait et expliquer ce qui te bloques et pourquoi ?
Cela te serait certainement plus profitable...
Yoshi
- Modérateur -
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#6 19-04-2024 16:21:09
- Dastan777
- Membre
- Inscription : 06-04-2024
- Messages : 12
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Bonsoir,
Ce serait bien de nous dire ce qui te pose problème.
Par exemple, dans le premier cas, tu exprimes la racine carré à l'aide d'une exponentielle
($\sqrt a=\exp(\ln(a)/2)$), tu écris tout sous une seule exponentielle, tu développes le carré,
et tu identifies. Le paramètre $\theta$ doit s'exprimer en fonction de $\mu$, le paramètre $\phi$ en fonction de $\sigma$.F.
Bonjour, c’est ce que j’ai tenté de faire mais je suis bloqué. J’arrive à là : https://www.noelshack.com/2024-16-5-171 … -3812.jpeg
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#7 19-04-2024 21:06:09
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 336
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Re-
Pourquoi es-tu bloqué? Il suffit de regarder ce à quoi tu veux arriver.
Tu veux un terme en $y,$ donc tu l'isoles. Tu veux un terme constant, tu l'isoles,
et il te reste une fonction en $y$ pour la fin....
F.
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#12 22-04-2024 14:18:25
- Ginger40
- Membre
- Inscription : 22-11-2022
- Messages : 35
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Bonjour,
Bref mon examen est jeudi et jamais j’aurais les réponses que j’ai posées à temps…
Voilà pourquoi j’aurais préféré des échanges en privé rémunérés
Comme l'a dit @yoshi, proposer une rémunération n'est pas vraiment l'esprit du forum... Les gens qui répondent sont des bénévoles qui prennent de leur temps pour aider les gens qui demandent de l'aide. C'est bête à dire mais il faut qu'on ait envie de t'aider, et ça, ça passe par donner un énoncé clair, dire ce que tu as essayé, sur quoi tu bloques etc. pour faciliter un peu les réponses des forumeurs. Plus tu montreras que tu as envie d'être aidé(e) (et non pas qu'on fasse le travail à ta place), plus les gens viendront effectivement te répondre !
Demander de l'aide en contrepartie d'une rémunération ne va pas faire répondre les gens plus vite (du moins pas sur ce forum, faut demander ailleurs), peut-être même que ça aura l'effet inverse. D'autant plus que c'est un peu fort de café de dire que tu es pressé(e) par le temps sachant que tu n'as pas répondu à l'aide de @Fred pendant une semaine...
Bon passons et essayons de t'aider maintenant, en espérant que tu as un peu plus compris le fonctionnement du forum. Je vais répéter ce qu'a dit @Fred mais peut-être qu'avec un autre angle ça va t'aider.
Si tu regardes bien ta forme générale de famille exponentielle tu as une partie linéaire en $y$ (ton $\frac{y\theta - b(\theta)}{a(\phi)}$) et une fonction $c$ définie sur $\mathbb{R}^2$ qui n'a aucune restriction sur sa forme (d'après ta définition) et qui va donc te servir de "fourre-tout" sur les termes en $y$ non linéaires. La seule condition c'est qu'elle ne doit pas dépendre de $\theta$.
Sur ta dernière image, je vais t'aider un peu, on peut réécrire la formule :
$$
\exp \left(\frac{2 / \mu-y / \mu^2}{2\sigma ^2} - \frac{1}{2y\sigma ^2} - \frac{\ln(2\pi y^3 \sigma ^2)}{2} \right)
$$
Avec ça tu devrais pouvoir trouver les paramètres $\theta$ et $\phi$ correspondants ainsi que la forme de tes fonctions.
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#13 22-04-2024 15:00:26
- Dastan777
- Membre
- Inscription : 06-04-2024
- Messages : 12
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Merci pour ta réponse !
Il ne faut pas que vous preniez mal mes propos et ma façon de parler, je vois promets que c’est seulement parce que je panique étant donné que mes examens c’est pour dans quelques jours.
Sinon suite à ton message j’ai trouvé cela : https://www.noelshack.com/2024-17-1-171 … -3816.jpeg
Mais je ne suis vraiment pas sûr. Et aussi je n’ai pas trouvé phi.
Est-ce bien cela ?
PS : je voulais plutôt écrire c(y,phi) et non c(y, theta)
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#14 22-04-2024 15:38:34
- Ginger40
- Membre
- Inscription : 22-11-2022
- Messages : 35
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Bonjour,
Bon bah on est sur la bonne voie déjà !
Par contre attention à la définition de $b$, ce n'est pas exactement ça. Il manque un moins, et surtout faire attention aux valeurs de $\theta$ qui sont toujours négatives, donc on ne peut pas directement appliquer la racine carrée à $\theta$.
Quant à $\phi$ je ne comprends pas trop pourquoi tu ne le trouves pas, c'est presque le même travaille que pour $\theta$.
Tu as un paramètre $\sigma^2$ au dénominateur et tu peux choisir un paramètre $\phi$ et une fonction $a(\phi)$ au dénominateur... L'identification est assez directe.
Restera finalement à montrer que $c$ ne dépend que de $y$ et $\phi$, et pas de $\theta$, ce qui se fera facilement une fois $\theta$ et $\phi$ identifiés !
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#15 22-04-2024 18:33:45
- Dastan777
- Membre
- Inscription : 06-04-2024
- Messages : 12
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Déjà, ce qui est "bizarre" c'est que dans mon cours, cela dit que pour la loi Gaussienne Inverse : teta = -1/2mu^2 et b(x) = -sqrt(-2x)
Donc je pense qu'il ne faut pas mettre le 2 au dénominateur avec le sigma^2, non ?
De plus, mon cours dit que phi = sigma^2/mu^2 x w
Mais 1) je ne comprends pas pourquoi phi dépend de mu et 2) je ne comprends pas ce qu'est w
Dernière modification par Dastan777 (22-04-2024 18:38:08)
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#16 22-04-2024 21:50:23
- Ginger40
- Membre
- Inscription : 22-11-2022
- Messages : 35
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Effectivement vu la définition donnée il n'y a visiblement pas de raison qu'il y ait unicité de la forme (i.e. tu peux trouver plusieurs $a$, $b$, $c$, $\theta$ et $\phi$ qui représentent la même fonction $f$).
Si on reprend la formule, on peut enlever les 2 ce qui donne :
$$
\exp \left(\frac{1 / \mu-y /2\mu^2}{\sigma ^2} - \frac{1}{2y\sigma ^2} - \frac{\ln(2\pi y^3 \sigma ^2)}{2} \right)
$$
Et tu retrouves bien la définition de $\theta$ et $b$ que tu as dans ton cours (si tu as bien corrigé ton erreur sur $b$). Note que ta première réponse n'est pas fausse (à part si des critères sont demandés sur les fonctions ou les paramètres dans la question).
Par contre pour ton $\phi$ je ne sais pas trop quoi te dire. Si on prend la 2ème forme, on a juste envie de poser $\phi = \sigma^2$ et comme le membre de droite ne dépend que de $\sigma$ c'est bon. Tu n'as pas une définition de $w$ ?
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#18 23-04-2024 19:10:23
- Ginger40
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- Inscription : 22-11-2022
- Messages : 35
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
Tu veux dire que c'est a(phi) qui serait égal à sigma^2, non ?
Je veux bien dire que $\phi = \sigma^2$, ce qui n'empêche pas de dire $a(\phi) = \sigma^2$ en prenant simplement l'identité pour $a$ ($a(\phi) = \phi$.
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#19 23-04-2024 20:48:18
- Dastan777
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- Messages : 12
Re : Montrer que des lois appartiennent à la famille exponentielle
D'accord merci.
Sinon pour le w, mon cours dit simplement que
dans l'expression de la famille exponentielle, a(phi) es souvent remplacée par phi/wi avec wi un poids (connu) associé à l'observation Yi
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