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Théorème

Invité

Théorème du prolongement analytique.

Bonsoir,

Soit [tex]P[/tex] et [tex]Q[/tex] deux polynômes dans [tex] \mathbb{C} [X,Y][/tex] tels que, [tex]\forall a \in \mathbb{C}[/tex], [tex]P(a,a) = Q(a,a)[/tex].
Est ce qu'on peut en conclure, d'après le théorème du prolongement analytique que, [tex]P=Q[/tex] sur tout [tex]\mathbb{C}^2[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Théorème du prolongement analytique.

Bonjour,

  Non, par exemple pour P=X-Y et Q=0.

F.

Théorème

Invité

Re : Théorème du prolongement analytique.

Bonjour,

Merci pour votre réponse Fred.
Est ce que alors, le théorème du prolongement analytique s'avère être faux, puisque j'ai trouvé un contre-exemple, celui de ce fil ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Théorème du prolongement analytique.

Bonjour

  Le théorème du prolongement analytique n'est vraie que pour les fonctions holomorphes d'une variable complexe.

F.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Théorème du prolongement analytique.

Bonsoir,
La réponse de Fred ne me paraît pas vraiment appropriée.
Le problème est que l'on est dans $\mathbb C^2$, et que la diagonale $\{ (a,a)\mid a\in \mathbb C\}$ n'est sûrement pas un ouvert de $\mathbb C^2$ !

Fred

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Re : Théorème du prolongement analytique.

Bonjour

  Effectivement je pensais plutôt au principe des zéros isolés.

F.

Fred

Administrateur

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Re : Théorème du prolongement analytique.

Re

Après réflexion je ne comprends pas pourquoi ma réponse ne serait pas appropriée si on considère cet énoncé du théorème du prolongement analytique : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … tique.html

F.

Glozi

Invité

Re : Théorème du prolongement analytique.

Bonsoir,
La notion de fonction analytique s'étend au delà des fonctions holomorphes (ces dernières étant definies sur un ouvert de $\mathbb{C}$). Pour ces fonctions analytiques plus générales on trouve le théorème : "unique continuation" (je n'ai pas de nom en français).
Voir https://encyclopediaofmath.org/wiki/Rea … ntinuation pour la definition générale des fonctions analytiques et quelques unes de leurs propriétés.

Du coup, il faut bien dire à quoi on pense quand on parle de prolongement analytique !
Bonne soirée

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Théorème du prolongement analytique.

@Fred : non, ta réponse n'est pas appropriée.
Le théorème du prolongement analytique vaut pour les fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes. Quant à l'énoncé que tu cites, ce qui se passe est que $A$ est dense (pour la topologie de Zariski analytique) dans $U$. La diagonale n'est pas dense pour la topologie de Zariski analytique dans $\mathbb C^2$.