Forum de mathématiques - Bibm@th.net

TOP1rm

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Inégalité : Carré d'une somme et double de la somme des carrés.

Bonjour,

À la lecture d'un ouvrage en mathématiques appliquées, je suis tombé sur cette propriété (qui est utilisée dans une preuve) :

[tex]
\begin{equation*}
    \forall(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb R^n,\;\left(\sum_{i=1}^n\alpha_i\right)^2\leqslant2\sum_{i=1}^n\alpha_i^2
\end{equation*}
[/tex]

Inégalité que je n'arrive pas à prouver. J'ai quand même essayé certaines choses, on peut déjà commencer par développer le terme de gauche :
[tex]
\begin{equation*}
    \left(\sum_{i=1}^n\alpha^i\right)^2=\sum_{i=1}^n\alpha_i^2+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\alpha_i\alpha_j
\end{equation*}
[/tex]

L'inégalité que l'on cherche à prouver peut ainsi aussi s'écrire :

[tex]
\begin{equation*}
    \forall(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb R^n,\;2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\alpha_i\alpha_j\leqslant\sum_{i=1}^n\alpha_i^2
\end{equation*}
[/tex]

Par application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\text{ et }(1,\ldots,1)\in\mathbb R^n$, nous avons aussi :
[tex]
\begin{equation*}
    \left(\sum_{i=1}^n\alpha_i\right)^2\leqslant n\sum_{i=1}^n\alpha_i^2
\end{equation*}
[/tex]

J'ai aussi tenté en vain une récurrence sur $n$. Si vous avez des idées pour résoudre cela, je suis tout ouïe.

Roro

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Re : Inégalité : Carré d'une somme et double de la somme des carrés.

Bonjour,

L'égalité que tu évoques a l'air fausse !
Par exemple si tous les $\alpha_i$ sont égaux à $1$...

Roro.

TOP1rm

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Re : Inégalité : Carré d'une somme et double de la somme des carrés.

Rebonjour,

Merci, je me disais bien que cette inégalité était un peu ambitieuse, mais je n'avais pas trouvé de contre-exemple. Alors qu'un contre exemple aussi simple que celui que vous avez donné, n'attendait que la mise en marche de mon cerveau pour m’apparaitre.

Merci encore, car dès lors qu'on considère à tort que cette inégalité est vraie, tenter de la prouver peut être long (jusqu'à l'abandon).
Bonne journée à vous !
TOP1rm.

Roro

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Re : Inégalité : Carré d'une somme et double de la somme des carrés.

Ok, mais comment l'as-tu trouvée dans un ouvrage ???

Roro.

TOP1rm

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Re : Inégalité : Carré d'une somme et double de la somme des carrés.

Ben je suppose que c'est une coquille. Mais cette inégalité est écrite noir sur blanc, et est effectivement utilisée dans la démonstration d'un théorème. Je suis donc parti avec un a priori sur la véracité de cette dernière. À mon humble avis il s'agit d'une simple erreur passagère, vu la qualité de l'ouvrage ainsi que de l'expertise et la pédagogie de son auteur (ou alors quelque chose m'échappe !).

Dernière modification par TOP1rm (17-04-2024 22:51:52)