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vincek

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nbre de rangement possible de n boules de k sortes dans n cases

Bonjour.
Je m'interroge sur le problème suivant:
J'ai n cases ne pouvant contenir qu'une seule boule. J'ai aussi n boules.
-Dans le cas ou il y a 1 seule sorte de boule, il n'y a qu'un seul rangement possible: toutes les cases avec une boule.

-Dans le cas ou il y a 2 sortes de boule, Le nombre de rangement possible est la combinaison de p boules d'une sorte parmi n . (ou de (n-p) boules parmis n)

J'aimerais trouver une formule pour 3 sortes , puis 4, puis k sortes...

Si vous avez une idée?

Dernière modification par vincek (14-09-2008 22:56:51)

yoshi

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Re : nbre de rangement possible de n boules de k sortes dans n cases

Bonjour vincek,

Et bienvenue sur BibM@th...
2 liens :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … aison.html
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ement.html

@+

vincek

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Re : nbre de rangement possible de n boules de k sortes dans n cases

Merci pour les liens.

Je pense avoir trouvé la réponse:

par exemple pour 4 sortes de boules:
soit p boules de la première sorte
soit q boules de la deuxième
soit r la troisième et s la dernière.
avec n=p+q+r+s
alors le nombre de rangement possible des n boules serait:

[tex]\begin{pmatrix}%20n%20\\%20p%20\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}%20n-p%20\\%20q%20\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}%20n-p-q%20\\%20r%20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}%20p+q+r+s%20\\%20p%20\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}%20q+r+s%20\\%20q%20\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}%20r+s%20\\%20r%20\end{pmatrix}[/tex]

Je débute en écriture latex alors pour la généralisation à k sortes de boules, il faudra attendre...

avec [tex]n_i[/tex] boules de sorte i.

[tex]\prod\limits_{i=1}^k {\begin{pmatrix}\sum\limits_{j=i}^k n_j\\n_i\end{pmatrix}}[/tex]

A+

Dernière modification par vincek (16-09-2008 12:33:23)

yoshi

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Re : nbre de rangement possible de n boules de k sortes dans n cases

Bonjour,

Louables efforts ! Ô combien !!!
Aurais-tu voulu écrire :

[tex]\prod\limits_{i=1}^k \left(\sum\limits_{j=i}^k \begin{pmatrix}%20n_j%20\\%20n_i%20\end{pmatrix}\right)[/tex]
Si c'est le cas, voilà le code :
\prod\limits_{i=1}^k \left(\sum\limits_{j=i}^k \begin{pmatrix}%20n_j%20\\%20n_i%20\end{pmatrix}\right)
Et si devant \prod, tu rajoutes \displaystyle tu forces la formule à utiliser davantage de place.

Sur le fond, ça fait partie de mes lacunes hélas, j'espère que quelqu'un va jeter un oeil dessus et se prononcer...

@+

vincek

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Re : nbre de rangement possible de n boules de k sortes dans n cases

Bonjour et merci.

J'ai modifié le code tex pour rendre la formule un peu plus lisible.
Je ne sais pas si les deux formules sont équivalentes.
Je vais détailler dans le premier message les calculs pour expliquer la formule.

A+

yoshi

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Re : nbre de rangement possible de n boules de k sortes dans n cases

Bonjour,

Tu as apparemment toujours le [tex]n_i[/tex] mal placé...

@+

vincek

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Re : nbre de rangement possible de n boules de k sortes dans n cases

Bonjour, je ne vois pas pour le positionnement du [tex]n_i[/tex]. Il s'agit d'une combinaison avec comme argument une somme et [tex]n_i[/tex].

Je doute que l'autre formule soit équivalente.

A+

Dernière modification par vincek (16-09-2008 12:58:42)

yoshi

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Re : nbre de rangement possible de n boules de k sortes dans n cases

Re,

Ca y est, j'ai compris ! Je vais voir si on peut rendre ça plus clair ...

@+