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ccapucine

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Problème de Sturm Liouville

Bonjour,
on considère le problème de Sturm Liouville
\begin{equation} \begin{cases} -(P(t) y')' + q(t) y = \lambda y,\\ \alpha y(a) +\beta y'(a)=0,\\ \gamma y(b)+\delta y'(a)=0\end{cases}\end{equation}

La question est de montrer que ce problème n'admet pas de valeurs propres complexes.

On raisonne par l'absurde et on suppose que $\lambda=\alpha + i \beta$ est une valeur propre du problème et la fonction $y=u+iv$ est la fonction propre associée, où $\alpha, \beta, u, v \in \mathbb{R}$.
Dans le livre que je lis, il est écrit ceci: en remplaçant $y$ dans l'équation et en intégrant entre $a$ et $b$, on obtient:
$$ -\beta \displaystyle\int_a^b (u^2 +v^2) dt = [\beta(u v' - u' v)]_a^b =0.$$
Je n'arrive pas à comprendre comment on arrive à ce dernier résultat. Moi quand je remplace $y$ dans l'équation, j'obtiens:
$$[-(P(t) u')' +q(t) u -(\alpha +i \beta) u] +i [(P(t) v')' + q(t) v +(\beta-i \alpha v)]$$
Comment on arrive à obtenir le résultat du livre? Svp
Merci d'avance pour votre aide.

Roro

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Re : Problème de Sturm Liouville

Bonjour,

Soit tu n'as pas bien recopié le livre dont tu parles, soit je ne comprend pas !

Je pense que pour obtenir un truc qui ressemble à ce que tu as écrit, tu dois multiplier l'équation par $\overline{y}$, intégrer sur $[a,b]$ puis prendre la partie imaginaire...

Si je ne me trompe pas, on obtiendra une estimation un peu comme tu veux.

Roro.

ccapucine

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Re : Problème de Sturm Liouville

On veut montrer que $\lambda$ complexe n'est pas une valeur propre pour notre problème.
si $\lambda$ est une valeur propre et $y$ sa fonction propre associée, alors $L(y)= \lambda y$.
On multiplie cette dérnière équation par $\bar{\lambda}$ et on obtient:
$$L(y) \bar{y}= \lambda y \bar{y}$$
En intégrant sur $[a,b]$ par rapport à $t$, on a:
$$-\displaystyle\int_a^b (P(t) y')' \bar{y} dt + \displaystyle\int_a^b q(t) y \bar{y} dt = \lambda \displaystyle\int_a^b y \bar{y}dt$$
A partir de là, je bloque

Roro

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Re : Problème de Sturm Liouville

Re-bonsoir,

Tu bloques parce que tu ne lui pas ce que j'écris :

[...] puis prendre la partie imaginaire...

Il faudra aussi intégrer par parties, mais je ne vais pas tout faire : c'est assez standard comme façon d'obtenir une estimation. Je suis sûr que tu as déjà rencontré ça.

Roro.

P.S. Il y a tellement de faute de frappe dans ton premier message qu'il faut être presque devin pour comprendre ce que tu veux faire... Par exemple, le coefficient $\alpha$ qui intervient dans la condition au limite en $a$ n'a rien à voir avec le $\alpha$ de la partie réelle de $\lambda$... ce n'est qu'un exemple mais tes messages sont truffés d'absurdités.

Dernière modification par Roro (14-04-2024 20:22:04)

DeGeer

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Re : Problème de Sturm Liouville

Bonsoir
Quelqu'un avec le même pseudo a posté la même question ici

Roro

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Re : Problème de Sturm Liouville

Merci DeGeer.

J'arrête donc de répondre à ce sujet qui peut être clos !

Roro.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème de Sturm Liouville

@ccapucine :
Abus de confiance, pas de remise en question : bravo ?!

Tu as pris Roro pour un clown ?
Mal t'en a pris...
Ce genre de procédé n'est pas toléré ici !
J'attends a minima des regrets pour ton attitude...

Sujet fermé

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