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Invité

Math appliqué

Calculer l'intégral xdxdy où s est le champ limité par la droite qui passe par A (2,0) ,B (0,2) et par l'arc de circonférence de rayon 1 et de centre (0,1)

Ernst

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Re : Math appliqué

Bonsoir,

Normalement, tu sais calculer la surface d’un cercle. De cette surface tu en retires les 3/4 qui représentent les trois secteurs complets, et pour le dernier secteur tu retires également la moitié du carré de côté unité dont la droite dessine une diagonale. La quantité qui te reste représente l’intégrale recherchée.

▼solution

\[\frac{\pi-2}{4}\]

Roro

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Re : Math appliqué

Bonjour,

D'après ce que je comprend, il ne s'agit pas seulement d'une question de mesure d'aire mais plutôt du calcul suivant :
$$I = \int_S x\, \mathrm dx \mathrm dy$$
où $S$ est la partie comprise entre la droite (AB) et le cercle dessiné par Ernst (je pense que Ernst a oublié le "$x$")

En écrivant $S$ sous la forme suivante
$$S = \Big\{(x,y) \in \mathbb R^2 ~;~ 1<y<2 \quad \text{et} \quad 2-y<x<\sqrt{1-(y-1)^2}\Big\}$$
on peut calculer $I$ en travaillant par tranches, et cela revient donc à des intégrales simples d'une seule variable.

▼une autre solution

$$\displaystyle I = \frac{1}{6}$$

Roro.

Dernière modification par Roro (26-03-2024 12:06:57)

Ernst

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Re : Math appliqué

Bonjour,

Amusant qu'on arrive à deux résultats différents. Je vais détailler ici mon raisonnement.

Dans ma tête une intégrale est un calcul d'aire. La plupart du temps on utilise une écriture spécifique, mais si l'aire est géométriquement simple je pense qu'on peut s'en passer. J'ai donc fait abstraction des dx dy et me suis focalisé sur la description.

J'ai interprété « s est le champ limité par la droite qui passe par A (2,0) ,B (0,2) et par l'arc de circonférence de rayon 1 et de centre (0,1) » comme étant une portion de disque. Le problème, c'est que techniquement rien ne dit qu'il s'agit du petit segment circulaire délimité par un arc et une corde, l'autre partie étant également limitée par cette droite et l'autre arc de cette même circonférence. Ah. J'ai donc choisi, mais cela n'a pas grande importance dans la mesure où obtenir l'un, c'est aussi obtenir l'autre.

Ici les surfaces considérées m'ont paru d'une simplicité évidente. D'une part on a un cercle de rayon 1, d'autre part on a la diagonale d'un carré de côté 1, et enfin un angle de ce carré est placé pile poil au centre du cercle. On a donc bien trois quarts de cercle intacts, et pour le quart restant on a bien la moitié de la surface d'un carré unité. Facile alors de calculer la surface totale du disque, par addition le grand morceau, et par soustraction le petit.

Donc ma question est la suivante : d'après l'énoncé, fallait-il comprendre autre chose que le calcul de cette surface-là ? Merci d'éclairer ma lanterne.

Roro

Membre expert

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Re : Math appliqué

Bonjour Ernst,

Je suis tout à fait d'accord avec ton raisonnement (et ton dessin), mais je pense que tu calcules la quantité
$$J=\int_S \mathrm dx \mathrm dy$$
alors que j'avais cru comprendre qu'il fallait calculer
$$I=\int_S x\, \mathrm dx \mathrm dy.$$

D'un point de vue "appliqué" $J$ correspond à l'aire de $S$ comme tu le dis, alors que $I$ correspond plus à un moment d'ordre $1$ (ou à une masse d'une plaque non homogène...).

Roro.

Dernière modification par Roro (27-03-2024 12:21:04)

multan

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Re : Math appliqué

Bonjour,

Ce n'est pas une option et ça n'use les doigts de personne !
*** Yoshi - Modérateur ***

Pour calculer l'intégrale ∫∫s x dxdy, où s est le domaine délimité par la droite qui passe par les points A (2,0), B (0,2), et l'arc de circonférence de rayon 1 et de centre (0,1), nous devons diviser le domaine en deux parties et effectuer les intégrations séparément.

Premièrement, nous allons intégrer sur la partie délimitée par la droite AB. La droite AB peut être représentée par l'équation y = 2 - x. Les limites d'intégration pour x sont de 0 à 2, et pour y, elles vont de 0 à 2 - x. Ainsi, nous avons :

∫∫s1 x dxdy = ∫[0,2]∫[0,2-x] x dy dx

En intégrant par rapport à y, nous obtenons :

∫∫s1 x dxdy = ∫[0,2] (xy)|[0,2-x] dx
                                = ∫[0,2] x(2-x) dx
                                = ∫[0,2] (2x - x^2) dx
                                = [x^2 - (x^3)/3] |[0,2]
                                = (2^2 - (2^3)/3) - (0^2 - (0^3)/3)
                                = (4 - 8/3) - (0 - 0)
                                = 4/3 - 8/3
                                = -4/3.

Maintenant, nous allons intégrer sur la partie délimitée par l'arc de circonférence de rayon 1 et de centre (0,1). Cette partie peut être représentée en coordonnées polaires par les limites θ allant de π/2 à π et r allant de 0 à 1. Ainsi, nous avons :

∫∫s2 x dxdy = ∫[π/2,π]∫[0,1] (rcosθ) r dr dθ

En intégrant par rapport à r et θ, nous obtenons :

∫∫s2 x dxdy = ∫[π/2,π] (1/2)cosθ dθ
                                = (1/2)sinθ |[π/2,π]
                                = (1/2)(sin(π) - sin(π/2))
                                = (1/2)(0 - 1)
                                = -1/2.

Enfin, pour obtenir le résultat final, nous additionnons les deux intégrales :

∫∫s x dxdy = ∫∫s1 x dxdy + ∫∫s2 x dxdy
                  = -4/3 - 1/2
                  = -8/6 - 3/6
                  = -11/6.

Ainsi, l'intégrale ∫∫s x dxdy, où s est le domaine délimité par la droite qui passe par A (2,0), B (0,2), et par l'arc de circonférence de rayon 1 et de centre (0,1), est égale à -11/6.

Dernière modification par yoshi (11-04-2024 15:47:48)

Michel Coste

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Re : Math appliqué

Bonjour,
Le résultat donné dans le message précédent est forcément faux : quand on intègre une quantité positive sur une surface, on ne peut pas trouver un résultat négatif.
On peut aussi procéder assez facilement en utilisant Green-Riemann :
$$ \iint_S x\,dx\,dy = \int_{\partial S} \frac{x^2+y^2}2 \, dy$$

Dernière modification par Michel Coste (11-04-2024 16:05:15)