Forum de mathématiques - Bibm@th.net

soupeochoux

Invité

Fonctions de plusieurs variables : continuité

[tex]
\[
f(x, y) =
\begin{cases}
y^4 & \text{si } x^2 > y^2, \\
x^2 & \text{si } x^2 \leq y^2.
\end{cases}
\]
[/tex]
Bonjour, je voulais savoir s'il existait une méthode systématique d'étude de continuité d'une fonction définie sur une partition de R^2.
Il y a en un effet un exemple dans les exercices bibmaths mais je n'ai pas compris le corrigé (voir corrigé : pourquoi est-il suffisant de prendre une suite dans U et une suite dans V pour montrer la continuité, sachant qu'il existe d'autres suites qui tendent vers (a, b) ?)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Fonctions de plusieurs variables : continuité

Bonjour,
La limite de $f(x,2)$ quand $x$ tend vers 2 par valeurs $<2$ n'est pas égale à la limite de $f(x,2)$ quand $x$ tend vers 2 par valeurs $>2$. Donc $f$ n'est pas continue.

soupeochoux

Invité

Re : Fonctions de plusieurs variables : continuité

Bonjour,
La limite de $f(x,2)$ quand $x$ tend vers 2 par valeurs $<2$ n'est pas égale à la limite de $f(x,2)$ quand $x$ tend vers 2 par valeurs $>2$. Donc $f$ n'est pas continue.

Pardon j'ai mal écrit, c'est si x> y^2 ou si x <= y^2. La fonction me paraît continue dans ce cas, mais j'aimerais trouver une méthode systématique pour le prouver à chaque fois que les deux domaines forment une partition de R^2.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Fonctions de plusieurs variables : continuité

Soient $F$ et $G$ deux fermés de $\mathbb R^2$, tels que $F\cup G=\mathbb R^2$, $f$ continue sur $F$ et $g$ continue sur $G$. Alors $f$ et $g$ sont les restrictions d'une même fonction continue sur $\mathbb R^2$ si et seulement si $f=g$ sur $F\cap G$.
Tu peux appliquer ça ici.

soupeochoux

Invité

Re : Fonctions de plusieurs variables : continuité

Soient $F$ et $G$ deux fermés de $\mathbb R^2$, tels que $F\cup G=\mathbb R^2$, $f$ continue sur $F$ et $g$ continue sur $G$. Alors $f$ et $g$ sont les restrictions d'une même fonction continue sur $\mathbb R^2$ si et seulement si $f=g$ sur $F\cap G$.
Tu peux appliquer ça ici.

Merci beaucoup. D'où vient ce résultat ?5

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Fonctions de plusieurs variables : continuité

Je te laisse le démontrer en exercice.