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isadio

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aidez moi à résoudre cette énigme s'il vous plait

Chaque nuit, une princesse est tout aussi susceptible de dormir sur 6 à 12 matelas. La moitié des nuits de l'année, un pois est placé sous le matelas le plus bas.

• Si le pois est placé sous 6 matelas, il dort bien 0 nuit sur 10. Elle ne dort jamais !
• Si le pois est placé sous 7 matelas, elle dort bien 1 nuit sur 10.
• Si le pois est placé sous 8 matelas, elle dort bien 2 nuits sur 10.
• Si le pois est placé sous 9 matelas, elle dort bien 3 nuits sur 10.
• Si le pois est placé sous 10 matelas, elle dort bien 4 nuits sur 10.
• Si le pois est placé sous 11 matelas, il dort bien 5 nuits sur 10.
• Si le pois est placé sous 12 matelas, elle dort bien 6 nuits sur 10.

Un matin, lorsque son bon ami M. Bayes l'a réveillée, elle a dit qu'elle avait incroyablement bien dormi cette nuit-là !

Quel est le nombre attendu de matelas sur lesquels elle a dormi cette nuit-là ?

Ernst

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Re : aidez moi à résoudre cette énigme s'il vous plait

Bonsoir,

Imaginons qu'elle dorme vingt nuits avec six matelas : la moitié du temps elle fera des nuits complètes (absence de petit pois), et l'autre moitié elle ne dormira pas. Total de nuits parfaites, dix.

Imaginons qu'elle dorme vingt nuits avec sept matelas : la moitié du temps elle fera des nuits complètes (absence de petit pois), et l'autre moitié elle ne dormira qu'une seule nuit. Total de nuits parfaites, onze.

Imaginons qu'elle dorme vingt nuits avec huit matelas : la moitié du temps elle fera des nuits complètes (absence de petit pois), et l'autre moitié elle ne dormira que deux nuits. Total de nuits parfaites, douze.

Bref, on comprend vite que plus il y a de matelas plus elle est susceptible de faire ses nuits, et donc le jour où elle dit avoir dormi comme un loir, il est bien plus probable que ce soit avec douze matelas qu'avec six.

Dernière modification par Ernst (27-02-2024 23:41:11)

Ernst

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Re : aidez moi à résoudre cette énigme s'il vous plait

Pour les probabilités, je calcule de la sorte :
20 nuits et 7 épaisseurs envisagées = 140 nuits au total
nuits complètes 10+11+12+13+14+15+16 = 91

d'où la distribution suivante :
proba avec 6 matelas       10/91 = 0,1099
proba avec 7 matelas       11/91 = 0,1209
...
proba avec 12 matelas 16/91 = 0,1758

et enfin proba de nuits complètes  91/140 = 0,65

isadio

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Re : aidez moi à résoudre cette énigme s'il vous plait

j'ai bien suivi votre démarche mais je vois que la question finale reste à chercher. Je pense avoir une idée de la suite en calculant la probabilité d'un événement sachant l'autre. Vue que nous connaissons maintenant ma probabilité de l'événement ''elle dort bien''

Ernst

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Re : aidez moi à résoudre cette énigme s'il vous plait

j'ai bien suivi votre démarche mais je vois que la question finale reste à chercher. Je pense avoir une idée de la suite en calculant la probabilité d'un événement sachant l'autre. Vue que nous connaissons maintenant ma probabilité de l'événement ''elle dort bien''

Bonsoir,

« Elle dort bien » est une certitude spécifiée dans l’énoncé et a donc une probabilité de 1, autrement dit 100%.

Je comprends sans doute mal ta question. Pour moi si elle me dit qu’elle a bien dormi, cela peut-être certes avec n’importe laquelle des configurations, mais c’est celle avec douze matelas qui m’assure le plus de chances de dire juste.

Ernst

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Re : aidez moi à résoudre cette énigme s'il vous plait

Bonjour,

Nouvelle journée, nouveaux développements. Par curiosité je me suis amusé à programmer la chose. Pour chaque configuration j’ai fait un milliard de tirages aléatoires, d’abord en tirant au sort la présence ou non d’un petit pois (oui / non à 50%), et si petit pois, en tirant alors au sort si nuit paisible en fonction du nombre de matelas et du taux associé, ce qui me donne une proportion de nuits complètes :

  6 : 0.499998279
  7 : 0.550003428
  8 : 0.600022252
  9 : 0.65001662
10 : 0.699998701
11 : 0.750000937
12 : 0.800002409

L’exécution de chaque série a pris une quinzaine de secondes et confirme mon raisonnement. Avec six matelas, les seules nuits correctes sont celles sans petit pois, donc environ la moitié. L’ajout d’un matelas permet ensuite 10 % de mieux sur la moitié des tirages (ceux avec le petit pois) donc seulement 5 %, ce qui est raccord avec ce qu’on observe ici, et la probabilité d’une nuit complète en l’absence de toute précision correspond bien au 0.65 déjà proposé.

Ernst

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Re : aidez moi à résoudre cette énigme s'il vous plait

Petit développement.

Pour appréhender une logique sous-jacente, il est parfois bon de réduire les possibilités. Ici, sans petit pois toutes les configurations se valent, la différence ne vient que du seul petit pois, donc ne considérons que les nuits petipoitées. En réduisant le champ des possibles à deux situations seulement, un seul matelas = pas de sommeil et deux matelas = gros dodo, on comprend bien que quand la princesse dit avoir passé une nuit de rêve, elle ne peut avoir dormi que dans la deuxième configuration.

Une fois cela acquis, on comprend alors que multiplier les matelas, leur attribuer des probabilités progressives et proposer des nuits sans petits pois ne change rien à cette logique. Autrement dit, si notre princesse dit avoir bien dormi, il y aura toujours un peu plus de chance qu'elle l'ait fait dans la configuration la plus favorable, même si c'est seulement un chouia. (le chouia est l'équivalent populaire du iota mathématique, c'est bien connu)

Et perso j’ajouterais même un carillon aléatoire pour perturber les nuits avec ou sans petit pois, histoire de compliquer davantage encore les probabilités, les calculs, et les occasions de se tromper...

jaber moutaabbid

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Re : aidez moi à résoudre cette énigme s'il vous plait

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