Forum de mathématiques - Bibm@th.net

DrStone

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Trouver $x$ !

Bonsoir à tous.

Dans le manuel de sixième que j'utilise (~1960) on trouve au chapitre longueur des segments/mesure des longueurs (l'un des tous premiers) des exercices de ce style :

trouver $x$ tel que $$x\,\text{cm}+1,5\,\text{cm}+2,1\,\text{cm}=4\,\text{cm}$$

Petits exercices très sympathiques s'il en est ; néanmoins grande question : aucune notion d'équation n'étant alors enseignée à ce niveau dois-je trouver une bonne valeur directement ? Dois-je faire une fausse supposition, me rendre compte que ça dépasse ou que ce n'est pas assez et ajuster en conséquence ? Dois-je… résoudre l'équation ?
Voire… dois-je faire totalement autre chose ? ^_^ Après tout, j’aimerais les résoudre dans l’esprit de l’époque… époque que je n’ai pas connue mais dont j’imagine aisément que tout ceci devrait néanmoins faire appel à de la géométrie et une figure à un moment. :=)

Merci d'avance.

Dernière modification par DrStone (24-03-2024 21:49:12)

vam

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Re : Trouver $x$ !

Bonsoir

On faisait ça avec des petits dessins
On superposait des segments. Celui de 4 cm. En dessous bout à bout celui de 1,5 et celui de 2,1. le bout qui manque, c'est x.
Limpide :)

vam

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Re : Trouver $x$ !

DrStone

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Re : Trouver $x$ !

Bonsoir vam.

Interessant ceci. À mon époque on définissait les segments $\mathrm{CD}$, $\mathrm{DE}$… et on avait alors (en restant sur les notations que tu as introduit)

$$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}\cup\mathrm{DE}\cup\dots$$
avec pour longueur
$$\text{long}\,\mathrm{AB}= \text{long}\,\mathrm{CD}+ \text{long}\,\mathrm{DE}+\dots \qquad(-\text{long}\,(\mathrm{CD}\cap\mathrm{DE}\cap\dots)) $$

L’utilisation des variables et des nombres décimaux était déjà connue et on pouvait donc résoudre l’équation de la sorte dès la sixième.

Du coup j’ai du mal à voir comment cette méthode que tu exposes pourrait être utilisée pour écrire une solution : comme souvent lorsqu’on a été habitué à tout démontrer dès la sixième, ce que tu présentes là ne fait pas « démonstration »/« solution », même si je ne doute pas du fait que c’est probablement juste un sentiment sur lequel je vais devoir travailler.

Dernière modification par DrStone (24-03-2024 22:59:30)

vam

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Re : Trouver $x$ !

Là j'ai laissé geogebra mettre des lettres, mais sur ce genre de dessin, on n'en mettait pas (de ce que je me souvienne).
En réalité ma maman avait été institutrice un certain temps, et c'était des méthodes classiques, en particulier pour les maîtres qui préparaient au certificat d'études.

DrStone

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Re : Trouver $x$ !

Tu me vois encore plus confus qu’avant !

Je ne comprends pas comment une simple superposition de segments peut donner une solution satisfaisante à cet exercice.
Entendons-nous bien, j’aimerais vraiment que ce soit aussi simple, mais j’ai du mal à y croire… satanée math moderne qui m’a déréglé. :=)

Dernière modification par DrStone (24-03-2024 23:33:12)

vam

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Re : Trouver $x$ !

On peut aussi faire une addition à trous.

Personnellement je suis un peu étonnée (sans vraiment l'être) du libellé de cette question dans un manuel de 6e car je pense que la "lettre" n'était pas encore introduite, mais j'étais élève, et je n'ai peut-être pas été marquée par ça. Par contre, je sais aussi que les auteurs de manuels ne s'embêtaient pas trop avec ce qui était permis ou non.
Par contre les petits dessins, comme j'ai fait, ça je les vois encore très bien. On y mettait des couleurs, et tant que le littéral n'était pas introduit, on s'appuyait sur eux pour répondre.

Yoshi se souvient peut-être de ce qu'on lui a enseigné à cette époque...

DrStone

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Re : Trouver $x$ !

Bonjour vam.

J'ai, moi aussi, trouvé étrange de trouver l'utilisation de variables aussi tôt dans l'enseignement pré-moderne ; mais, en relisant la préface du manuel j'ai pu trouver une petite ligne qui peut vite passer inaperçue :

[…] nous avons rédigé le cours en pensant aux tendances actuelles du langage mathématique. […]

Si on creuse un peu le reste de cette série de manuel on trouve, dans la préface du manuel de cinquième (1964),

[…] D'autre part, l'apparition des mathématiques dites «modernes» à tous les niveaux de l'enseignement a contribué à accroitre les exigences de logique dans le raisonnement et de rigueur dans la pensée.
[…]
Nous avons introduit quelques mots de vocabulaire «moderne» et aussi quelques symboles très simples […]

Et il est vrai que dès le manuel de cinquième sont introduits des notions telles que les ensembles, l'inclusion, l'appartenance, l'intersection, la réunion… par exemple (il y a d'autres exemples tout au long du manuel), dès ce manuel de cinquième, je retrouve une version édulcorée de ce à quoi j'ai eu droit en géométrie :

L'intersection des lignes $\mathrm{L_1}$ et $\mathrm{L_2}$ est le point $\mathrm{A}$. Nous notons $\mathrm{L_1\cap L_2}=\{\mathrm{A}\}$.

Maintenant que j'y pense, il me parait clair que l'enseignement de la mathématique moderne n'est pas sortie de nulle part pour être appliquée telle quelle : elle a dû faire son petit bonhomme de chemin afin d'être testée avec quelques notions par ci, d'autres par là, avant même qu'on se demande si elle devait être appliquée bien plus frontalement.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Trouver $x$ !

Bonsoir,

Je rejoins vam sur les segments...
Mais, je pense qu'à l'époque en 6e, on savait déjà que la différence de deux nombres a et b (a>b), c'est le nombre c qu'il faut ajouter à b pour trouver a
Comme a et b sont aussi des lettres, si elles te gênent :
- garde seulement différence de deux nombres et oublie le "a et b" qui suit
- remplace (a> b) par (premier nombre supérieur au second)
Dans ce cas  : x+1,5+2,1 = 4 devenant : ? + 3,6 = 4 on est confronté au choix
- à une soustraction  : 4 - 3,6 = ?
- à une addition à trous (ainsi que dit par vam) ce qui nous ramène à l'item précédent...

D'ailleurs en 5e, après avoir vu comment additionner deux relatifs, on passait à la soustraction.
Et soit on balançait la règle, soit (et c'était mon cas) on montrait comment y accéder en usant de la définition donnée plus haut (sans se préoccuper du a>b évidemment)
Par exemple:
(-5) - (+3) = ? est remplacée par une devinette dont on fait trouver la réponse via un petit raisonnement :
On se demandait donc s'il était possible de répondre à : (-5) + ? = (-3)
Il est simple de voir que
- derrière ? il n'y a pas un nombre négatif (règle de l'addition)
- si le nombre n'est pas négatif, c'est qu'il est positif :
  * la règle d'addition nous permet de dire que le nombre cherché est inférieur à 5
  * la conséquence est donc que que ? c'est +2
On arrive alors à (-5)+(+2)= (-3) soit en revenant à la soustraction (-5)-(-3)= (-5)+(+3)= (+2)
On étudie ensuite les 3 cas  restants pour en arriver à la formulation :

Pour soustraire deux nombres relatifs, il faut ajouter au premier l'opposé du 2nd et on a bien vu ainsi que la définition de la définition donnée de la différence de deux nombres a et b donnée plus haut s'applique encore (et que sa formulation n'en est pas très éloignée).

@+

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DrStone

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Re : Trouver $x$ !

Bonjour vam. Bonjour yoshi.

Veuillez m'excuser pour mon retard qui a pris des proportions bien plus énormes qu'escompté… petit conseil à ceux qui nous suivent : si vous devenez cadre, faites attentions aux responsabilités que vous acceptez d'assumer, au risque de vous retrouver à être responsable de tout le fatras mis par vos subalternes… de même n'acceptez pas tout sous prétexte qu'il faut bien le faire et que personne d'autre le fera : c'est toujours plus de travail avec un retour sur investissement assez négligeable.

Quoi qu'il en soit ; en vous relisant tout deux, il m'est venu l'idée d'aller voir ce qui se faisait en primaire à cette époque (notez les deux liens).

J'en suis alors arrivé à cette résolution, bien que je ne puisse réellement affirmer avec certitude s'il s'agit bien de ce qu'il était attendu par les auteurs, qui est finalement un mix de tout ce que vous m'avez suggéré ainsi que ce que j'ai pu trouver :

Si on porte, sur une même droite les segments $BC$ et $CD$ au bout du segment $AB$, on obtient le segment $AD=4\,\text{cm}$. La longueur du segment $AD$ est alors la somme des segments $AB$, $BC$, $CD$ où $x$ est la longueur inconnue du segment $AB$.

Or, la somme des longueurs des segments $BC$ et $CD$, correspondant respectivement aux traits rouge et bleu, équivaut à

$$1.5\,\text{cm}+2.1\,\text{cm}=3.6\,\text{cm}.$$

Le nombre $x$, correspondant à la longueur du trait hachuré, a donc pour valeur

$$4\,\text{cm}-3.6\,\text{cm}=0.4\,\text{cm}.$$

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Bien entendu, je n’exclus aucunement le fait que tout ceci soit overkill comme disent nos amis anglo-saxons, et qu'il était, potentiellement, tout simplement attendu de trouver la valeur directement…

Dernière modification par DrStone (06-04-2024 14:13:38)