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bridgslam

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estimation du rayon terrestre à la plage

Bonjour,

Arrivé un peu avant  le coucher de soleil sur votre plage préférée, allongé sur le sable, vous regardez la trotteuse de votre montre à l'instant où le soleil disparait
(mer d'huile, temps clair, pas de mouettes pour vous déconcentrer ).
Vous vous mettez alors debout puis vous notez que votre montre marque t secondes de plus pour que le soleil disparaisse à nouveau.

Sachant que vos yeux sont à une hauteur H du sable, exprimer en fonction de H et t une valeur approchée du rayon terrestre à cet endroit.

A.N. par exemple H = 1.70 et t = 10s

▼réponse

Un calcul d'angle facile compte-tenu des divers triangles donne $R = H \frac {cos( 2\pi t/86400)} {1 - cos( 2\pi t/86400)}$

L'application numérique donne une valeur réaliste du rayon terrestre.

Alain

Dernière modification par bridgslam (30-03-2024 19:24:04)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Zebulor

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Re : estimation du rayon terrestre à la plage

Bonsoir,
sans regarder la réponse, je me dis qu'il me manque au moins une donnée pour répondre..

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Ernst

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Re : estimation du rayon terrestre à la plage

Bonsoir.

Entre un soleil qui plonge à pic et un soleil qui se glisse à peine sous l’horizon, les durées sont quand même bien différentes, cela dépendant à la fois de la latitude et de la date précise.

Ceci dit, on va se supposer à l’équateur avec un soleil qui plonge à pic. On sait à cette latitude la rotation terrestre nous déplace de 465 m/s (calcul fait grâce à la connaissance de la durée du jour et du rayon terrestre). On sait aussi qu’à une hauteur d’environ 1,70 m l’horizon se trouve à environ 4,7 km de l'observateur (calcul fait grâce à la connaissance du rayon terrestre). Eh bien grâce à ces 4,7 km de recul par rapport à la position allongée, on a effectivement une durée d’environ 10 secondes avant un nouveau coucher de soleil.

Tous ces calculs prenant déjà en compte le rayon terrestre, je ne pense pas qu'on puisse s'en servir pour alléguer une découverte.

> plus de précision sur les calculs ici <

bridgslam

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Re : estimation du rayon terrestre à la plage

Bonsoir ,

Oui mais justement on n'est pas sensé connaître le rayon terrestre, c'est ce qu'on souhaite évaluer.
En somme on considère une vitesse angulaire moyenne du soleil à son coucher, et le but est d'évaluer ce rayon inconnu grâce à une simple montre.
Le flou de l'observation pouvant sans doute atteindre la seconde , l'impact sur le rayon joue sur le millier de km, des données astronomiques précises sur le mouvement relatif soleil/terre sont totalement inutiles.
L'idée est donc d'effectuer un calcul rapide "à la Fermi" permettant de réaliser que ce rayon n'est pas de quelques centaines de km , mais plusieurs milliers.
Il ne manque pas de données pour faire ce calcul.
L'exercice originel propose d'ailleurs (sans explication) un  rayon de 5200 km, obtenu pour t=11.1 s et H=1.70 m.
Pas ultra précis comme on peut le constater.

A.

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Ernst

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Re : estimation du rayon terrestre à la plage

Re-bonsoir,

Ah d’accord, j’ai compris !

En fait la clé, c’est la connaissance du temps exact que met la Terre à tourner sur elle-même : elle nous donne une variation angulaire par seconde parfaitement définie. On peut donc calculer, en fonction du temps passé à observer encore le soleil quand on s’est mis à une nouvelle altitude, l’angle qu’on a parcouru. Et une fois qu’on connaît cet angle, comme à l’extinction les rayons sont tangents à la sphère, on a un triangle rectangle dont on connait à la fois l’hypothénuse (la somme du rayon et de l’altitude) et l’angle au centre, et donc de là on peut effectivement en déduire le rayon puisqu'on connait son altitude. Très joli.

(la rotation terrestre journalière étant de 23 h 56 m 4 s c’est-à-dire 86 164 s, l’imprécision vient peut-être de là dans la formule)

bridgslam

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Re : estimation du rayon terrestre à la plage

Bonjour,

Oui c'est cela et dans le schéma géométrique plan on a juste à voir facilement que deux angles clé sont égaux.
Perso j'ai cru avoir fait une erreur ( rayon bien trop faible) avant de lire la valeur numérique du résultat dans le bouquin ( 5200 km ) qui correspondait à la mienne avec les données (1.70m et 11 s) en entrées.

A.

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