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fatimetou abdel vetah

Invité

dimension fini

bonsoir comment allez vous,

j'ai une question ou bien un problème que je n'arrive pas à résoudre
Soit $ n \in \mathbb N,\; \forall k \in [[0,n]]$, on pose $B_k = x^k(1-x)^{n-k}$
1. Montrer que $\forall k \in [[0,n]],\, x^i$ est combinaison linéaire de $B_0,...,B_n$.
Qu’en déduit-on ?

Dernière modification par yoshi (27-03-2024 08:16:37)

yoshi

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Re : dimension fini

Bonjour,

Merci de préciser que si ma traduction de ton énoncé en Code LateX est correcte.
A l'avenir, vu ton niveau, tâche de faire un effort (va voir le lien, tu y trouveras de quoi débuter).

      Yoshi
- Modérateur -

bridgslam

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Re : dimension fini

Bonjour,

Si l'énoncé est correct il n'est pas trop dur de voir à quoi est égal $B_n$, puis $B_{n-1}$ et les autres par récurrence simple en descendant l'exposant k:
par exemple de $B_k = X^k(1-X)^{n-k}$ on tire facilement que $X^k$ est une combinaison linéaire si à ce stade c'est fait pour les rangs k+1, ....,n.
On a n+1 polynômes qui engendrent donc un espace vectoriel de dimension n+1. Donc...

Une autre façon de procéder consisterait à voir directement que la famille proposée est libre puisque les polynômes sont de valuations distinctes.

A.

Dernière modification par bridgslam (27-03-2024 14:15:15)