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Borassus

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En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Bonjour,

Il y a traditionnellement en trigonométrie cinq couples d'angles associés :

• un angle et son opposé :   $x$   et   $-x$

• un angle et son supplémentaire :   $x$   et   $\pi -x$     (leur somme est égale à $\pi$)

• un angle et sa rotation de $\pi$ :   $x$   et   $x + \pi$     (plutôt que $\pi + x$ qui est une écriture davantage algébrique)

• un angle et son complémentaire :   $x$   et   $\dfrac {\pi} {2} - x$     (leur somme est égale à $\dfrac {\pi} {2}$)

• un angle et sa rotation de $\dfrac {\pi} {2}$ :   $x$   et   $x + \dfrac {\pi} {2}$     (plutôt que $ \dfrac {\pi} {2} +x$ , pour la même raison)

Les angles dont la somme est égale à $\dfrac {\pi} {2}$ sont appelés "complémentaires".

Les angles dont la somme est égale à $\pi$ sont appelés "supplémentaires".

Mais comment appeler des angles dont la différence est $\dfrac {\pi} {2}$ ?

De même, comment appeler les angles dont la différence est $\pi$ ?

Merci d'avance de vos indications et suggestions.

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« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
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Bernard-maths

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Bon...soir !

n'est ce pas lié à une rotation de ± π    ou ±π/2  ?

B-m

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
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Borassus

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Bonsoir Bernard,

Merci de ta (prompte) réponse.

Effectivement, les angles complémentaires et supplémentaires relèvent d'une double rotation :
rotation de $\dfrac {\pi} 2$ (ou $\pi$) dans le sens positif, puis rotation de $x$ en sens opposé (pour $x$ positif). C'est ce que j'explique en effet.

Ce que je ne sais pas nommer est la rotation de $\pi$, et la rotation de $\dfrac {\pi} 2$ , c'est-à-dire lorsque la différence entre l'angle associé et l'angle d'origine est égale à $\pi$ ou $\dfrac {\pi} 2$.

Pour la première, j'utilise l'expression de mon cru "angles diamétralement opposés".

Je ne sais par contre pas nommer le couple généré par l'angle initial et sa rotation de $\dfrac {\pi} 2$.

D'autant plus qu'il faut distinguer deux cas :
$sin(x + \dfrac {\pi} 2) = cosx$   (situation caractérisée par « angle du sinus moins angle du cosinus = $\dfrac {\pi} 2$ »)
et
$cos(x + \dfrac {\pi} 2) = sinx$   (situation caractérisée par « angle du cosinus moins angle du sinus = $\dfrac {\pi} 2$ »)

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yoshi

Modo Ferox

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Re,

Je ne sais par contre pas nommer le couple généré par l'angle initial et sa rotation de $\pi/2$..

Si je comprends bien, tu décris un cas particulier d'une paire d'angles qu'on m'avait appris à nommer "Angles à côtés perpendiculaires", avec cette propriété : "Deux angles à côtés perpendiculaires sont égaux."

Non ?

@+

[Edit]

Je n'ai jamais entendu l'expression "un angle et son supplémentaire" (et complémentaire).
j'ai toujours utilisé supplément et complément.
Propriété : "Deux angles qui ont le même complément sont égaux.
Triangle ABC rectangle en A. La hauteur [AH].

$\widehat{BAH}$ et $\widehat{HAC}$ sont complémentaires.
$\widehat{ACH}$ et $\widehat{HAC}$ sont complémentaires.
Les angles $\widehat{BAH}$ et $\widehat{ACH}$ ayant le même complément $\widehat{HAC}$ sont égaux

Dernière modification par yoshi (25-03-2024 22:00:28)

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Bernard-maths

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Re,

je crois qu'on les appelait "différents différant de π" ou "différents différant de π/2"

Tout simplement !

B-m

Merci JLB, rectifié l'orthographe !!!

Dernière modification par Bernard-maths (29-03-2024 22:09:38)

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Borassus

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Pour que ma demande soit plus claire : Appellation des angles associés

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jelobreuil

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Bonsoir à tous,
Attention, Bernard, des angles "différents de pi", il y en a une infinité ! Tous les angles autres que pi ...
Il te faut écrire ici que ces deux angles, x et (x + pi), sont "des angles différant de pi".
Mais je crains fort que les connaissances en français de la plupart des élèves actuels ne leur permettent pas de goûter cette différence subtile de fonctions, entre adjectif (originellement verbal) et participe présent ...
Pour répondre à la demande de Borassus, je proposerais volontiers d'appeler (x + pi) angle "demi-tour" de x et de même, (x + pi/2) angle "quart-de-tour" de x, appellations qui ont l'avantage d'être très "visuelles" et de rappeler la transformation opérant sur x. On pourrait même aller un peu plus avant et parler, si besoin est, d'angle "plus quart-de-tour" et d'angle "moins quart-de-tour", et de même pour les angles demi-tour. Je précise que ces adjectifs devraient rester invariables ...
J'avoue avoir un faible pour ces problèmes de lexicologie ...
Bien amicalement à tous, JLB
Edit : Borassus, tu as posté ton schéma pendant que j'écrivais ce message.
"Angles diamétralement opposés" ne me paraît pas vraiment approprié, car le lien suggéré avec les "angles opposés" me semble trompeur dans la mesure où le nombre "x + pi" ne peut aucunement être considéré comme un nombre "opposé" au nombre x.

Dernière modification par jelobreuil (25-03-2024 23:25:41)

Borassus

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Bonsoir jelobreuil, et merci !

Décidément, nous représentons une paire féconde !  :-)
Et j'espère vivement que nous pourrons continuer dans cette voie.

J'avais lu l'adjectif, et ne comprenais donc pas la réponse de Bernard. Ne comprenant pas cette réponse, je n'avais pas pensé à convertir l'adjectif en participe présent. Effectivement, subtilité de la langue française.

Je suis tout à fait partant pour "angle demi-tour" et "angle quart-de-tour" de $x$ car ces expressions ont l'avantage de bien illustrer la transformation effectuée sur x. (J'utilisais déjà "demi-tour" et "quart de tour" pour désigner la rotation, en précisant que "demi-tour" doit naturellement être compris dans le sens de "moitié de tour" ⁽¹⁾, et non dans le sens de "faire demi-tour".)

Je corrige systématiquement les polycopiés des profs (ainsi que les manuels) lorsque je vois $\pi + x$ ou $\dfrac \pi 2 + x$ car ce n'est pas du tout le processus "logique".
Hé non ! la somme n'est pas commutative dès lors qu'on traduit un contexte concret : $a + b$ n'est pas équivalent à $b + a$...

Autre avantage de "l'angle demi-tour", c'est que l'expression ne donne aucune indication sur le sens de rotation : le demi-tour peut être tout aussi bien être effectué dans le sens positif que dans le sens négatif : donc $x + \pi$ et $x - \pi$ sont les deux angles demi-tour (invariance :-) de $x$.
Par contre, "angle quart de tour" sous-entend que la rotation se fait selon le sens positif.

Maintenant, comment appeler les paires $x$ et $x + \pi$   et   $x$ et $x + \dfrac \pi 2$ ?

(1) Pour illustrer la distinction entre $k2\pi$ et $2k\pi$, j'utilise l'explication suivante :
« Tu es en cours d'EPS et le prof vous fait courir autour d'un stade. A un moment, il te crie « Courage [prénom], il te reste trois tours ! »
Tu comprends parfaitement.
S'il te crie « Courage [prénom], il te reste 2 fois trois moitiés de tours ! », tu t'arrêtes pour comprendre. « Hein ? »
Et ensuite tu as du mal à repartir.  :-)

J'avoue avoir un faible pour ces problèmes de lexicologie ...

De mon côté, j'accorde une grande importance à l'usage correct des termes mathématiques et à la logique des expressions de calcul.
Le manque de rigueur dans leur utilisation contribue à rendre les maths si absconses pour beaucoup d'élèves.

"Angles diamétralement opposés" ne me paraît pas vraiment approprié, car le lien suggéré avec les "angles opposés" me semble trompeur dans la mesure où le nombre "x + pi" ne peut aucunement être considéré comme un nombre "opposé" au nombre x

C'est bien ce que intuitivement je percevais, et je n'étais pas à l'aise avec cette appellation, précisément du fait de la double signification de "opposé". Merci.

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Borassus

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

dans la mesure où le nombre "x + pi" ne peut aucunement être considéré comme un nombre "opposé" au nombre x

Je vois en permanence la confusion entre angle et nombre...

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Ernst

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Pour que ma demande soit plus claire : Appellation des angles associés

Bonsoir Borassus,

La première idée qui m'est venu à l'esprit en voyant le dernier schéma, c'est angle orthogonal. Ou perpendiculaire, mais orthogonal ça fait plus mieux je trouve. :-)

Borassus

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Rebonsoir Ernst,

Merci de cette suggestion.

Si j'ai bien compris, elles s'adresse à la configuration $x \rightarrow  x + \dfrac \pi 2$

L'angle $x + \dfrac \pi 2$ serait l'angle orthogonal à $x$ ?

Ce qui me gêne, c'est que, visuellement, l'angle orthogonal à $x$ serait plutôt l'angle $\dfrac \pi 2$ prolongeant l'angle $x$.

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jelobreuil

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Bonjour, Borassus, Ernst, et tous les autres ,
Ernst, j'interprèterais plutôt "angle orthogonal à un autre" comme étant l'angle dont les côtés sont orthogonaux à ceux de cet autre ... Pour moi le terme "orthogonal" évoque une relation de disposition, dans l'espace ou le plan, entre deux objets géométriques, et non pas une relation entre les mesures de leurs grandeurs ...
Borassus, attention, j'écris l'adjectif "quart-de-tour" avec des traits d'union, pour le différencier du nom "quart de tour".
Et pour distinguer les deux sens de rotation, préciser ensuite "positif" ou "négatif" me semble mieux fonctionner que "plus" ou "moins" que je proposais hier soir : "angle quart-de-tour-négatif" versus "angle moins-quart-de-tour", qu'en dis-tu ?
Bien amicalement, JLB
PS : Borassus, je te rejoins tout à fait pour ce qui est de la nécessité d'utiliser les termes mathématiques avec la plus grande rigueur, non seulement quant au sens précis de ces derniers (aspect sémantique), mais aussi quant à leur agencement dans la phrase, en rapport avec le déroulement de la pensée (aspects grammatical, syntaxique et logique).

Dernière modification par jelobreuil (26-03-2024 10:21:42)

Ernst

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Bonjour tout le monde.

Ernst, j'interprèterais plutôt "angle orthogonal à un autre" comme étant l'angle dont les côtés sont orthogonaux à ceux de cet autre ... Pour moi le terme "orthogonal" évoque une relation de disposition, dans l'espace ou le plan, entre deux objets géométriques, et non pas une relation entre les mesures de leurs grandeurs ...

Ah oui, très bien !

J'ai tracé un angle en A, puis tracé deux droites perpendiculaires aux côtés :

De la sorte j'obtiens en D un angle orthogonal à A. Je peux aussi en obtenir un en E. Est-ce qu'on peut dire qu'ils sont égaux à un quart de tour près ?

Aucune idée.

Borassus

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Re : En trigo, angles "complémentaires", "supplémentaires" ; les autres ?

Bonjour jelobreuil, bonjour tout le monde,

"Angles diamétralement opposés" ne me paraît pas vraiment approprié, car le lien suggéré avec les "angles opposés" me semble trompeur dans la mesure où le nombre "x + pi" ne peut aucunement être considéré comme un nombre "opposé" au nombre x.

La difficulté vient de la confusion permanente entre angle, d'un côté, et position sur le cercle trigonométrique, de l'autre côté.

Si on se place selon une optique d'angle, comme je l'ai fait sur ma figure, la formulation qui me semble la mieux adaptée pour la paire $x$ et $x + \pi$ est "angle et son angle de demi-tour".

Si, par contre, on se se place selon une optique de position, l'expression pourrait être "positions diamétralement opposées".

Pour la paire $x$ et$-x$, l'appellation pourrait être "angles de sens contraire" si on considère les angles, et "positions horizontalement symétriques" si on raisonne en positions.

Dans cette même logique, si on considère les angles, la paire $x$ et $\pi -x$ pourrait être appelée "angles supplémentaires à $\pi$".
(Bien que je n'aime pas trop l'extension de "supplémentaires", qui est un terme de géométrie traditionnelle — deux angles adjacents forme un angle plat — à la trigonométrie circulaire : on voit sur ma figure que les angles $x$ et $x + \pi$ ne sont pas adjacents. L'appellation "supplémentaires" devraient donc s'appliquer à l'angle $x + \pi$ et à l'angle "qui fait face" à $x$.)

Si on considère les positions, l'appellation pourrait être "positions verticalement symétriques".

Toujours dans cette distinction entre angle et position, la paire $x$ et $\dfrac \pi 2$ peut être appelée "angles complémentaires à $\dfrac \pi 2$" (bien que... même raison).
Je ne sais par contre pas pour l'instant comment désigner les positions.

Enfin, pour la paire $x$ et $x + \dfrac \pi 2$, l'appellation pourrait être "angle et son angle de quart-de-tour", si on considère les angles, et "positions à angle droit" qs on considère les positions.

Qu'en pensez-vous ?
Bonne journée.

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