Les complexes 1 dm [Résolu]

lamiss83 · 12-09-2008 21:16:47

Bonjour alors voila j'ai un dm pour lundi et il y a un exercice ou je ne comprend rien. Je n'arrive pas du tout à le faire alors j'espère que vous pourrez m'aider et m'aiguiller un peu merci ;)

Exo
pour tout nombre complexe z different de i, on note Z=[tex]\frac{2+\bar{z}}{i+\bar{z}}[/tex]
On note Z=X+ iY et z= x+iy avec X Y x y reels
1° Résoudre dans C les equations Z=-1 et Z=i
2° Exprimer X et Y en fonction de x et y

(les 3 autres questions je n'ai pas encore fini donc je n'en parle pas c'est sur les ensembles j'en parlerais si je n'y arrive pas)
Jespère que vous pourrez m'aider

lamiss83 · 13-09-2008 10:03:12

personne ne peut m'aider?

yoshi · 13-09-2008 10:43:09

Bonjour lamiss83,

Et bienvenue sur BibM@th...
Bizarre ! A 8 h 30 ce matin, je n'ai pas vu ton post...
Voilà de l'aide pour la première question :
Tu n'as qu'à écrire que :
[tex]\frac{2+\bar z}{i+\bar z}\,=\,-1[/tex], donc que [tex]2+\bar z+i+\bar z =0[/tex] remplacer [tex]\bar z[/tex] par x+iy et résoudre par identification (système de deux équations à 2 inconnues)...

Pour la deuxième partie de la question, on procède à l'identique :
[tex]\frac{2+\bar z}{i+\bar z}\,=\,i[/tex], donc [tex]2+\bar z\,-\,i(i+\bar z) =0[/tex] développer, simplifier, remplacer [tex]\bar z[/tex] par x+iy et résoudre par identification (système de deux équations à 2 inconnues)...

Sera-ce suffisant ?

@+

PS Ne sois pas si impatiente ! Tu n'es pas sur un Chat, mais sur un Forum, où les gens ne sont pas toujours là ;-)

lamiss83 · 13-09-2008 12:07:46

j'ai pas tout compris :s

yoshi · 13-09-2008 12:16:44

Re,

Si tu veux qu'on t'aide, il va falloir être un peu plus explicite !
Qu'est-ce que tu n'as pas compris ? Et ne répond pas : tout ! Parce que ce n'est jamais vrai !
Précise donc à quel moment, dans ce que j'ai écrit, tu ne piges plus !

+

lamiss83 · 13-09-2008 15:42:46

ba je n'ai pas compris pourquoi c'est égal a 2+[tex]\bar{z}+i+\bar{z}[/tex]=0
[tex]\bar z[/tex] n'est pas égl à x-yi plutot? car z= x+yi
après c'est le système a 2 équation je vois pas comment j'arrive a ce point la.

yoshi · 13-09-2008 16:11:03

Re,

A partir de :
[tex]\frac{2+\bar z}{i+\bar z}\,=\,{-1}[/tex]
on peut écrire :
[tex]\2+\bar z=-1\,\times\,(i+\bar z)[/tex]
J'ai simplement multiplié les 2 membres par le dénominateur : on a le droit puisque [tex]z \not = i[/tex], alors [tex]\bar z \not= -i[/tex] et ce dénominateur n'est jamais nul.
Ensuite, je passe tout dans le premier membre et j'obtiens (en changeant de signe) :
[tex]2+\bar z +(i+\bar z)=0[/tex].
J'ai donc [tex]2+i+2\bar z=0[/tex]
Soit encore :
[tex]2+i+2(x-iy)=0[/tex]
On développe et on réarrange ça pour avoir la forme a+ib :
[tex]2+i+2x-2iy=0[/tex]

[tex](2x+2)+i(1-2y)=0[/tex]
Je t'ai donné la méthode générale. Ici c'est plus simple, tu as un système déjà presque résolu. Tu vas identifier :
0 s'écrit aussii [tex]0\,+\,i\,\times\,0[/tex]

Tu as donc :
[tex]\left{2x+2=0\\1-2y=0[/tex]

Est-ce que c'est clair ?
On verra après pour Z = i

@+i

yoshi · 14-09-2008 10:10:02

Salut,

Comme je vois que tu n'es pas très pas assidue dans le suivi des réponses et vu le délai qui te reste, on va avancer un peu.
Z = i
Même procédé (je ne veux pas traîner x-iy trop longtemps) :
[tex]\frac{2+\bar z}{i+\bar z}\,=\,i[/tex]
on peut écrire :
[tex]\2+\bar z=i\,\times\,(i+\bar z)[/tex]
Ensuite, je passe tout dans le premier membre et j'obtiens (en changeant de signe) :
[tex]2+\bar z -i(i+\bar z)=0[/tex].
J'ai donc [tex]2+\bar z-i^2-i\bar z=0[/tex]
Soit encore :
[tex]2+x-iy+1-ix+i^2y=0[/tex]
Et :
[tex]3+x-iy-ix-y=0[/tex]
On réarrange ça pour avoir la forme a+ib :
[tex]3+x-y\,+\, i(-x-y)=0[/tex]
Et comme 0 = 0 + i.0, on identifie les parties réelles et imaginaires :
[tex]\left{\,3+x-y=0\\\,-x-y=0[/tex]
Voilà un système de deux équations à inconnues à résoudre.
Ca te va ?

@+

lamiss83 · 14-09-2008 12:50:37

Bonjour, dsl mon ordinateur a bugé hier je n'ai donc pas pu continué mais merci beaucoup de m'accorder du temps et de m'aider
alors pour le premier j'ai toruvé x=-1 et y=2 donc z=-1 + 2i
et pour le deuxième j'ai trouvé x=-3 et y=3/2 donc z=-3 + 3/2 i
c'est ca?

et pour la question 2 pouvez vous m'aidez svp?

yoshi · 14-09-2008 13:37:09

Bonjour,

Ouh là, que de fautes ! Va falloir resserrer les boulons...
Si 1-2y= 0, alors y = 1/2 et pas 2...
Pour Z = i, on a d'abord -x-y = 0 soit x+y=0 et x = -y et l'on reporte -y dans 3+x-y=0 et on obtient 3+2x=0, soit x = -3/2 et y=3/2...

Bon, pour la question 2) il y a la méthode "bourrin" :
[tex]X+iY\,=\,\frac{2+x-iy}{i+x-iy}[/tex]
soit encore :
[tex]X+iY\,=\,\frac{2+x-iy}{x+i(1-y)}[/tex]
Puis on multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur :
[tex]X+iY\,=\,\frac{(2+x-iy)[x-i(1-y)]}{[x+i(1-y)][x-i(1-y)]}[/tex]
Le dénominateur devient un réel : [tex]x^2+(1-y)^2[/tex]
On développe alors le numérateur et on le met sous la forme a + ib ; si je note le numérateur D, j'ai donc quelque chose comme ça :
[tex]X + iY = {a \over D}+i{b\over D}[/tex]
Et il n'ya plus qu'à identifier...

Mais ça ne me plaît pas. Je vais réfléchir à une méthode en liaison avec Z = -1 et Z = i, il doit bien y avoir un rapport...

@+

lamiss83 · 14-09-2008 13:43:29

d'accord parce que la j'ai pas tout compris :) merci beaucoup

yoshi · 14-09-2008 14:43:58

Re,

Non, a priori, je ne vois pas comment faire l'économie des calculs...
Qu'est-ce qui te gêne dans ce que je t'ai proposé ? A quel endroit ne comprendstu plys ?

@+

lamiss83 · 14-09-2008 15:51:31

et bien j'ai du mal a developper le numérateur de cette fraction
[tex]\frac{(2+x-iy)\times(x-i+iy)}{x^2+(1-y)^2}[/tex]

car je me retrouve avec des xiy, 2iy...

yoshi · 14-09-2008 16:04:48

RE,

Et bien, il faut y aller doucement :
[tex](2+x-iy)[x-i(1-y)]\,=\,2x-2i(1-y)+x^2-ix(1-y)-ixy+i^2y(1-y)[/tex]
Soit
[tex](2+x-iy)[x-i(1-y)]\,=\,2x-2i(1-y)+x^2-ix(1-y)-ixy-y(1-y)[/tex]
On regroupe d'un côté tout ce qui ne contient pas i et on met i en facteur pour les autres :
[tex](x^2+2x-y+y^2)+i[-2(1-y)-x(1-y)-xy][/tex]
Et dans les crochets tu développes et tu simplifies...

@+

lamiss83 · 14-09-2008 16:15:31

d'accrod alors j'arrive à
X+iY= [tex]\frac{(x^2+y+y^2)+i(-2+2y-x)}{x^2+(1-y)^2}[/tex]

mais ensuite je l'identifie comment?

yoshi · 14-09-2008 16:32:52

Re,

D'abord qu'as-tu fais du 2x côté gauche avant le i ? Tu l'as mangé ?
[tex]X\,+\,iY\,=\,\frac{(x^2+2x+y-y^2)+i(-2+2y-x)}{x^2+(1-y)^2}\,=\,\frac{x^2+2x+y-y^2}{x^2+(1-y)^2}\,+\,i\,\frac{-2+2y-x}{x^2+(1-y)^2}[/tex]

Et maintenant, c'est évident... Tu n'as pas compris ça ?
A gauche du + tu trouves X, à droite du i tu trouves Y...
C'est aussi élémentaire que ça ...

@+

[EDIT]
J'oubliais : Bravo pour l'utilisation du LaTex !!!

lamiss83 · 14-09-2008 17:20:32

daccord merci beaucoup pour votre aide !

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