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Omhaf

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Carré dans un Triangle rectangle

Bonjour,
Il m'est arrivé de constater que lorsqu'on dessine un carré dans un triangle droit de telle façon à ce que le côté du carré touche l'hypoténuse  et ne connaissant pas la valeur du coté du carré (appelons le x) cette équation résout la question (voir dessin)
j'ai 2 questions
1 ) est ce que l'équation est correcte ?
si oui
2) quelqu'un peut il la démontrer svp ?
Merci d'avance à tous ceux qui participeront

Cordialement,

Dernière modification par Omhaf (17-03-2024 17:06:19)

steviepi

Invité

Re : Carré dans un Triangle rectangle

oui le résultat est correct.il te suffit de calculer l'aire du grand triangle de 2 façons.

Omhaf

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Re : Carré dans un Triangle rectangle

J'ai constaté que la question est plus banale que ce que j'imaginais
en effet il faut procéder par les triangles rectangles adjacents au carré, ce sont des triangles proportionnels
5/x=x/20 d'ou  x²= 5*20
Voilà et désolé d'avoir accordé à la question une importance qu'elle ne mérite pas, cependant cela peut servir aux élèves  comme modèle de réflexion
Merci encore

yoshi

Modo Ferox

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Re : Carré dans un Triangle rectangle

Bonjour,

Autres démonstrations, types classe de 3e.
J'appelle A le sommet de l'angle droit, B le sommet au-dessus et C le dernier sommet restant.
J'appelle M le sommet du carré sur [AB], N le sommet du carré appartenant à l'hypoténuse et P le dernier sommet du carré.

On a (MN) // (AC)
ON peut donc appliquer le théorème de Thalès au triangle ABC :
$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}$
On a MB=5 et BA=$x$ d'où $BA= x+5$
On a $AP = x$ et PC =20 d'où $AC=AP+PC = x+20$
D'où en utilisant le 1er et le dernier rapport, on arrive à :
$\frac{5}{x+5}=\frac{BN}{BC}=\frac{x}{x+20}$

Et l'égalité des produits en croix permet d'écrire :
$5(x+20)=x(x+5)$
Soit
$5x+100=x^2+5x$
$x^2=100$
$x=\sqrt{100}=10$
-------------------------------------------
Ou encore avec un peu de trigonométrie
On a (MN) // (AC), les angles $\widehat{BNM}$ et $\widehat{BCA}$ en position d'angles correspondants sont donc égaux.
Leurs tangentes sont donc égales :
Dans le tr BMN rectangle en M :
$\tan(\widehat{BNM})= \frac{BM}{MN}=\frac 5 x$
Dans le tr BAC rectangle en  :
$\tan(\widehat{BCA})= \frac{BA}{BC}=\frac {x+5}{x+20}$
D'où
$\frac 5 x=\frac {x+5}{x+20}$
et :
$x(x+5) = 5(x+20)$
$x^2+5x=5x+100$
soit $x^2=100$ et x=10
@+

Dernière modification par yoshi (16-03-2024 12:06:16)

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