Un horloger ainsi qu'un marchand entrent dans un bar…

DrStone · 14-03-2024 19:02:48

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien en ce début de printemps.

Bon, vous vous en doutez, malgré ce que laissait présager le titre de ce sujet, je ne vais pas faire une blague douteuse.

Hier après-midi, comme à l’accoutumée, je faisais prendre de l'avance/réviser mon petit fils aux travers de vieux manuels (comment m'en vouloir quand le manuel utilisé en classe ressemble à ça ?). Parmi les exercices de "révision" que je lui ai proposé de faire, il y a eu les suivants pour lesquels j'ai eu toutes les peines du monde à trouver des résolutions qu'il comprenne et qu'il trouve convaincantes.

Voici les exercices:

Un horloger achète 25 montres et 8 pendules pour 4240 F. Il revend toutes les montres pour 3400 F et les pendules pour 2160 F. Il fait ainsi le même bénéfice sur une montre que sur une pendule. Calculer le prix d'achat d'une montre et celui d'une pendule.

Un marchand de tissus achète 75 m de drap. Il en revend 22,5 m à 36 F le mètre, puis 34,5 m à 24 F le mètre, enfin il solde le reste au prix coûtant. Son bénéfice est 555 F. Quel est le prix d'achat du mètre de drap ?

Question un peu idiote, donc : comment vous y seriez-vous pris afin de rédiger une solution à ces exercices pour des enfants de 11 ans étant en sixième ?

En vous souhaitant une bonne fin de soirée. ^_^

Dernière modification par DrStone (14-03-2024 19:03:13)

Rescassol · 14-03-2024 19:42:09

Bonjour,

C'est amusant, aujourd'hui, je ne suis pas sûr que des élèves de terminale y parviendraient.

3400+2160=5560
5560-4240=1320
25+8=33
1320/33=40
3400/25=136
2160/8=270
136-40=96
270-40=230

22.5*36+34.5*24=1638
1638-555=1083
22.5+34.5=57
1083/57=19

Il ne reste plus qu'à rajouter des phrases ....

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (14-03-2024 19:46:45)

Bernard-maths · 14-03-2024 19:42:48

Bonsoir !

Est-ce quon peut utiliser des formules genre : Pv = Pa + B + F ? Début de l'algèbre n quelque sorte ...

B-m

yoshi · 14-03-2024 20:16:43

Bonsoir,

Diantre, tu as placé la barre très haut, si j'en crois la plupart des exos des manuels actuels...
Question très loin d'être idiote...
Qu'est-ce que, moi, j'aurais tenté ?

J'aurais dit :
Après la vente, il avait dans sa caisse 3400 +2160 = 5560, soit 5560 € et il avait dépensé 4240 €.
La différence se monte à 1320 €.
Ces 1320 € sont dus au bénéfice réalisé sur chacun des (25+8) soit 33 objets vendus.
Bénéfice par objet :
$1320 / 33= 40$ soit 40 €

Et maintenant je revenais aux achats (Prix d'Achat = Prix de Vente - Bénéfice)
Prix d'achat total des montres :
$3400 - 40 \times 25 = 2400$. Les 25 montres ont donc été achetées pour 2400 €
Une montre a donc été achetée $2400 \div 25 =96 $ soit 96 €

Prix d'achat des 8 pendules :
$2160 - 40 \times 8 = 1840$. Les 8 pendules ont donc été achetées pour 1840 €

Le prix d'achat d'1 pendule est donc $1840 \div 8 = 230$ soit 230 €

Vérification (ou pas ? Un peu le chien qui se mord la queue)
(96+40)*25+(230+40)*8 = 3400+2160=5560

@+

[EDIT] Tiens Rescassol et moi, on démarre de façon identique, c'est après que ça c'est gâté... Aie !
En fait, non pas tant que ça : la lumière est venue, la 2e partie est le 2e exo...

Dernière modification par yoshi (14-03-2024 20:48:02)

Borassus · 14-03-2024 20:46:19

Bonsoir,

J'ai eu en 2017 à préparer au Concours Professeur des Ecoles (CRPE) une mère de famille qui voulait changer de métier et devenir institutrice.

J'avais beaucoup de mal à me libérer de mes réflexes algébriques, les exercices étant alors sensiblement moins évidents.

PS :

DrStone a écrit :

[...] je ne vais pas faire une blague douteuse.

Tu penses à un sujet particulier ? :-)

yoshi · 14-03-2024 21:32:30

Re,

Tiens, DrStone, un exo pour le petit-fils (je le donnais en 6e à la maison). J'en ai encore 2 pages bien plus difficiles tant qu'ils ne les prenaient pas par le bon bout (pas en interro, mais en hors d’œuvre à la rentrée). J'ai encore tous mes cours, mes exos, mes DM, mes interros, leurs corrigés de la 6e à la 3e. Je les conserve soigneusement depuis 2007....

Un champ rectangulaire a un demi-périmètre de 292 m.
On augmente sa longueur et sa largeur de 8 m de la façon présentée sur le dessin (je le donnais) :
De combien de m² la surface du champ a-t-elle augmenté.

Et j'ajoutais
Partager le nouveau champ en 4 vous aidera grandement...

Certains revenaient tout fiérots : j'ai trouvé !
Ils avaient résolu avec un système de 2 équations à 2 inconnues et je leur disais :
Oui ! Mais ce n'est pas toi qui l'a fait : celui (ou celle) qui te l'a fait s'est compliqué la tâche.
Moi Je n'ai pas besoin de tous ces calculs mais seulement de 2 opérations et de la table de (multiplication) de 8... et d'un peu de matériel : une feuille de papier à grands ou petits carreaux, une règle graduée, un bâton de colle et une paire de ciseaux

@+

DrStone · 14-03-2024 22:02:08

Quel succès fou pour deux petits exercices sans prétention aucune. ^_^

Commençons par répondre à Bernard-maths.
Ayant moi-même subit une formation tout ce qu'il y a de plus algébrique possible, j'ai bien entendu essayé de lui faire comprendre toute la logique derrière une telle abstraction. Néanmoins, il faut bien reconnaitre que pour un enfant qui n'a jamais eu à mathématiquement réfléchir de quelconque façon abstraite, on heurte vite les limites de ce qu'il peut faire à cet âge-là. D'autant plus lorsqu'il s'agit de pseudos-cours bonus et non obligatoires avec son papi un peu loufoque (le fait d'avoir un air d'Emmett Brown ne doit pas aider)
Pour ceux que ça intéresse, j'ai eu le plaisir de découvrir cette petite pépite sur YouTube : un cours d'initiation aux mathématiques modernes, en plusieurs vidéos d'une heure, datant de 1969 et présentées Monsieur Chenon du Conservatoire National des Arts et Métiers. Ça m'a un peu replongé dans cette époque de tous les possibles !

Continuons avec notre bon ami Borassus.
Oui ! Il est assez difficile de se défaire de l'algèbre tant elle est puissante et permet de résoudre n'importe quel exercice du genre en moins de cinq lignes. Je comprends donc ta peine ! Ça n'a pas dû être facile. Encore que, j'ai cru comprendre que tu as passé ton bac en 1971. Auquel cas, tu as dû avoir des restes de la méthode dite traditionnelle, lorsque tout ceci était encore enseigné au primaire et au collège !
Lors de mes années actives (la retrait arrivant bientôt ^_^) je me suis souvent dit que toutes les capacités algébriques avancées dont je (et dont les personnes de ma génération) dispose, manque tout de même d'une pincée de mathématiques classiques qui auraient pu donner un côté bien plus concret à tout ceci. Et je dis cela alors que mes professeurs de lycée avaient à cœur de nous donner des applications plus classiques (particulièrement en géométrie) des notions extrêmement abstraites (pour des lycéens - et pas que, d'ailleurs) qu'on étudiait. J'ai alors souvent trouvé bien dommage que les programmes de collège aient changé (j'ai déjà évoqué comment j'ai eu beaucoup de mal à appréhender la géométrie en quatrième et troisième par exemple). Il me semble alors que le mieux aurait sans aucun doute été de ne changer les programmes qu'au lycée ; ce qui avait été initialement été fait en 1969 : les élèves sortant d'un enseignement traditionnel au collège découvraient directement les mathématiques modernes en seconde. Cela me fait me demander si on a des retours concernant les résultats et capacités de ces personnes-là en comparaisons des suivantes qui ont eu droit au parcours 100% moderne.

Plutôt intéressante votre approche Rescassol et yoshi.
Je me rends compte que je me suis compliqué la vie pour rien ! J'arrivais aux mêmes résultats avec beaucoup plus d'étapes intermédiaires, ce qui a probablement embrouillé l'enfant plus qu'autre chose. Ce qui est intéressant ici c'est notamment la capacité à synthétiser toutes les informations, aussi bien explicites qu'implicites, de l'énoncé afin de savoir dans quelle direction aller.
Cela rejoint un petit peu ce que j'énonçais plus haut : a mon époque on était très fort pour nos capacités d'abstraction et savoir que dans un groupe tout élément est inversible (qu'importe ce que cela pouvait bien vouloir dire) mais niveau calculatoire et tout ce qui s'y rapportait, il n'y avait plus grand monde. :=)
Dès lors, il y a fort à parier que même dans les années 70 pas mal de terminales auraient galéré à résoudre ces exercices, du moins de la manière attendu - sinon, ils auraient bien entendu été faits en cinq minutes à coup d'algèbre linéaire.
Je vous remercie en tout cas tous les deux : Rescassol pour le côté synthétique que je vais sans doute reprendre pour les futurs exercices et problèmes que je voudrais refaire de mon côté ainsi que yoshi pour la rédaction très professionnelle que j'utiliserais donc pour les rédactions de solutions à expliquer ! On y décèle très clairement le professeur soucieux d'être compris par le plus grand nombre !

Enfin, yoshi seul cette fois-ci.
Je te remercie pour cet exercice de très bonne facture ! La petite indication fait tout l'exercice, je me demande même si ça ne le rend pas trop simple. De fait, je testerai ce weekend sur la petite terreur, d'abord sans l'indication puis, s'il ne s'en sort pas, avec celle-ci. Je t'apporterai alors mes retours ! Je vais aussi l'essayer moi-même dès demain avec les petits outils géométriques que tu proposais. Si je m'en sors (j'espère bien quand même, je ne suis pas manchot après tout :=)), cela pourrait être l'occasion d'entrouvrir une fenêtre vers bien d'autres émerveillements pour la petite terreur.

Dernière modification par DrStone (14-03-2024 22:11:50)

Rescassol · 14-03-2024 22:06:06

Bonsoir,

Yoshi, en imaginant le "L" bleu "déplié", on obtient $(292+8)\times 8=2400\space m^2$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (14-03-2024 22:07:19)

yoshi · 14-03-2024 22:42:45

bonsoir,

@Rescassol : bin oui, c'est tout simple.
Certains étaient "ingénieux" et courageux (à cause des calculs... quoiqu'avec les calculettes...) : ils prenaient un exemple pour la longueur et la largeur...
Je leur demandais en classe (correction) de couper le L en 3, de raboutes longueur et largeur pour tomber sur le demi-périmètre, puis de finir par le collage du carré... soit le calcul que tu présentes : 2 opérations...

@DrStone : les gens comme moi, qui sont de la "vieille école", en CM2 faisaient des problèmes de robinets, de trains qui se croisaient via, l'arithmétique. C'est normal que tu n'aies pas les réflexes...
Ce temps-là est fini ! Rends-toi compte : je vais avoir 77 ans...
Tiens, pour rire un peu (extrait de mes deux fiches de rentrées) :
1) Un livre a 250 pages. Combien de chiffres ont été utilisés pour numéroter les pages de ce livre (on admettra que la numérotation commence à 1) ?

2) Pour numéroter les pages d'un livre, Sébastien a imprimé 417 chiffres. Sauriez-vous dire combien de pages a ce livre ? Même question si on a imprimé 1188 chiffres ?

3) En examinant son dictionnaire, Sébastien s'aperçoit qu'il compte 1104 pages. Aussitôt il se demande combien de chiffres ont été imprimés sur ces 1104 pages et, plein de courage, décide de les compter. Un peu plus tard, arrivé au deux-millième chiffre, fatigué, il s'arrête, convaincu qu'il y a une meilleure méthode...
Mais au fait, quel est ce deux-millième chiffre ?

Ça, ils n'aimaient pas : il fallait planifier...
Je me souviens d'un môme qui barbouillait sa page de calculs :
Moi : quel courage ! Mais est-ce que tu sais où ça va te mener ?
Lui (honnête) : Non, je verrai quand j'aurai fini.

Je m'arrête-là, je ne veux pas pourrir ta discussion...

@+

DrStone · 14-03-2024 23:34:56

Mais enfin ! Tu ne pourris jamais la discussion yoshi ! Bien au contraire, je trouve qu'il est toujours instructif de te lire, ce que je ne manque pas de faire à chaque fois que je viens et que je vois que tu as répondu quelque part.

En effet, les problèmes de robinetterie, il ne me semble pas avoir un seul souvenir d'en avoir fait en étant jeune. On préférait plutôt m'apprendre les rudiments des mathématiques avancées. On peut en avoir un aperçu ici au travers d'un cahier d'activités de 1980. J'ai aussi trouvé une retranscription d'un texte de 1969 qui présentait les nouveaux programmes pour les classes du primaire.
Je crois tout de même qu'au moins un de mes enfants y a eu droit au début des années 2000, aux problèmes de robinetteries et autres voitures/trains qui se croisent, l'un partant de Paris à 14h32 à 340km/h et l'autre partant de Marseille à 12h58 à 250km/h. J'avoue que sur l'instant, j'étais bien en peine mais à force de travailler ces petits problèmes ils avaient fini par rentrer un peu… mais depuis lors, ma formation algébrique initiale à repris le dessus.

Tes petits exercices sont très sympa ! Diabolique, ça, ça ne fait aucun doute ; mais très sympa quand même ! Si le premier est plutôt simple, n'étant que du dénombrement pur et dur : il y a $9$ nombres à $1$ chiffre, puis $90$ nombres à $2$ chiffres, puis… que le second est le même que le premier (il suffit de penser "à l'envers") le troisième semble bien plus diabolique pour des élèves ! Non pas qu'il soit plus difficile que le précédent, mais le fait d'introduire des éléments inutiles à la résolution à dû en perturber plus d'un !

Dernière modification par DrStone (14-03-2024 23:42:36)

Borassus · 14-03-2024 23:48:26

Bonsoir,

Je me permets de proposer la rédaction suivante pour l'exercice avec les montres et les pendules :

Le produit de la vente est égal à $3400 + 2160 = 5560$ F.

Le montant total de l'achat étant égal à 4240 F, le bénéfice total est égal à $5560 - 4250 = 1320$ F.

Comme le bénéfice sur une montre est égal à celui réalisé sur une pendule, et comme il y a $25 + 8 = 33$ articles, le bénéfice par article est égal à $\dfrac {1320} {33} = 40$ F.

Le prix de vente d'une montre est égal à $\dfrac {340} {25} = 136$ F.
Le prix de vente d'une pendule est égal à $\dfrac {2160} {8} = 270$ F.

Le prix d'achat d'un article est égal à son prix moins le bénéfice réalisé dessus.
Le prix d'achat d'une montre est donc égal à $136 - 40 = 96$ F ; celui d'une pendule est égal à $270 - 40 = 230$ F.

Borassus · 15-03-2024 00:13:38

Pour ce qui est du marchand de tissus, je propose la rédaction suivante :

La longueur de tissu vendue avec bénéfice est égale à $22,5 + 34,5 = 57$ m.
(Il reste $75 - 57 = 18$ m de tissu sur lesquels le marchand ne fait pas de bénéfice.)

La vente de ces 57 mètres a rapporté $22,5 \times 36 + 34,5 \times 24 = 1638$ F.

Le prix d'achat de ces 57 mètres est égal au produit de leur vente moins le bénéfice, et est donc égal à $1638 - 555 = 1083$ F.

Le prix d'achat au mètre est finalement égal à $\dfrac {1083} {57} = 19$ F.

[EDIT] Le montant de l'achat des 75 m est égal à $75 \times 19 = 1425$ F.
Le montant de la vente est égal à la vente avec bénéfice, plus la vente sans bénéfice, soit $1638 + 18 \times 19 = 1980$ F.
On retrouve bien le bénéfice $1980 - 1425 = 555$ F.

Dernière modification par Borassus (15-03-2024 01:10:26)

DrStone · 15-03-2024 01:02:14

Très belles rédactions très cher Borassus. Je ne crois pas que j’aurais jamais pu en produire d’aussi complètes et synthétiques ! C’est en vous lisant, toi, yoshi ainsi que Rescassol dans une moindre mesure, qu’on comprend la différence de niveau qu’il y a entre les professeurs et le commun des mortels à la résolution de ce genre de problèmes.
Je suis bien content de vivre une formidable époque dans laquelle internet nous permet d’échanger sur le présent forum : en effet, vous arrivez à m’en apprendre tous les jours !

yoshi · 15-03-2024 19:30:43

Bonsoir,

@DrStone.
Tiens, en v'la 3 supplémentaires :

1. Prouver, sans effectuer les 2 multiplications, que 27 x 6565 = 2727 x 65.
2. Sébastien, encore lui, s'apprête à effectuer la multiplication de 532 par 47. Mais c'est ce moment que choisit une mouche pour se dégourdir les pattes sur son cahier. Distrait, Sébastien se trompe : au lieu de décaler les produits partiels (par 7 et par 4) d'un rang vers la gauche, il les décale d'un rang vers la droite.
Par combien a-t-il en réalité multiplié 532 ? Sans faire les 2 multiplications (la vraie et la fausse), calculer de combien le résultat trouvé est plus grand ou petit que le résultat réel.
3. En mesurant une longueur avec un décamètre usagé, on trouve 428,15 m. Mais on s'aperçoit que ce décamètre mesure en réalité 10,03 m.
Quelle est, à 1 cm près par défaut, la distance réellement mesurée ?

Le 1er est le plus amusant.
Le 2e était destinée à vérifier qu'ils n'avaient pas oublié le pourquoi du décalage en posant une multiplication. Je n'ai jamais été optimiste et l'expérience m'a montré que le pessimisme était de rigueur...
Quant au 3e, c'était clairement le plus déroutant des fiches (Lebossé & Emery Classe de 6e - Programme entre les années 1957/1960. Ce fut mon livre de Lycéen de 6e : N&B, aspect austère ; rien à voir avec les manuels d'aujourd'hui qui sont des œuvres d'art).

@Tous. Qui a étudié, dans sa prime jeunesse, la méthode de résolution de certains pb par "fausse supposition" (classe de 5e, je crois me souvenir) ? Elle servait à résoudre ce type de pbs :
Dans mon porte-monnaie, j'ai 61 F en pièces de 2 F et 5 F. Sachant qu'il y a 20 pièces en tout, trouver le nombre de pièces de 2 F et 5 F...
Maintenant :
- en 4e, résolution avec emploi d'une inconnue "auxiliaire" (comme le disait le Lebossé & Hémery )
- en 3e, classique pour ceux qui voient encore la résolution de "systèmes de 2 équations à 2 inconnues". Il me semble bien que ce n'est plus au programme :-( ... Qui a dit : "tout fout le camp ?"
La méthode de l'inconnue "auxiliaire" de 4e, n'étant en fait que la résolution du système de 3e par substitution...

@+

Dernière modification par yoshi (15-03-2024 19:55:48)

Borassus · 16-03-2024 13:05:40

Bonjour yoshi,

Il y a de quoi s'amuser effectivement !
Je m'y plongerai, sans doute avec délice, dès que j'aurai la disponibilité ad hoc.

PS : Pardon, yoshi, si je t'ai quelque peu froissé en proposant mes rédactions...

DrStone · 16-03-2024 13:29:39

Bonjour.

Merci à Borassus d'avoir relancé une notification, car je n'avais pas remarqué les nouveaux exercices proposés par yoshi qui sont, en effet très amusant à faire ! Merci encore de nous faire partager tes secrets si bien conservés !
Si je pense pouvoir affirmer sans trop m'avancer que la petite teigne arrivera (avec quelques indications quand même) à faire le premier exercice, la deuxième et le troisième seront une toute autre paire de manche ! Je testerais tout ceci demain après-midi et je t'en donnerai alors des nouvelles en fin de soirée. :=)

En ce qui concerne la fausse supposition, je n'en ai aucun souvenir et je n'étais même pas certain de savoir de quoi il s'agissait avant de faire quelques recherches sur le net. J'ai alors découvert un superbe article Wikipédia sur le sujet. ^_^

yoshi · 16-03-2024 14:10:23

Re,

Borassus a écrit :

PS : Pardon, yoshi, si je t'ai quelque peu froissé en proposant mes rédactions...

Meuh non ! DrStone avait fait appel aux contributions : plus il y en avait, mieux c'était...

Je me demande pourquoi le Wiki appelle-t-il la méthode "fausse position" : je ne la connais qu'avec fausse supposition.
Résolution de l'exo de Wikipedia

▼Résolution de l'exo de Wikipedia (les foulards)

Les exos plus hauts, sur la multiplication sauf le 1er sont de mon cru...
Les exos un peu "tordus", j'adorais ça.
J'en ai encore de tous niveaux (6e à 3e)...

En 4e, 3e, en trigo, j'avais de quoi faire : j'aimais bien "Le carré géométrique" de Fibonacci (3e)

▼ Pour éviter de fatiguer "l'ami Google"

@+

DrStone · 16-03-2024 14:39:03

Rebonjour très cher yoshi.

J'apprécie beaucoup ta fiche d'exercices presque tous ancrés dans le réel et que je vais conserver précieusement jusqu'au jour où je pourrais la ressortir !
Ce type d'exercices, je n'en ai presque jamais eu au cours de ma scolarité et, comme cela commence à être coutumier de ma part, je l'ai beaucoup regretté, car ils étaient mes exercices préférés ; particulièrement lorsqu'ils faisaient appel à des notions de physique.
Un de ces peu nombreux exercices qu'on nous avait fait faire et dont je me souviendrai toujours, s'agissait de calculer la hauteur visible d'un phare, premièrement depuis le niveau de la mer (d'où il était généralement totalement invisible), puis un mètre ou deux plus haut (à peu près au même endroit, d'où on voyait alors quelques mètres du haut de celui-ci). Le but final était alors de constater que la terre est belle est bien ronde. On avait fait ça en troisième avant d'aller vérifier sur place.
PS. Si tu as d'autres exercices tordus de ton cru que tu apprécierais nous faire partager, je suis preneur ! J'aime me prendre la tête une petite heure ou deux le soir avant d'aller dormir. :=)

En ce qui concerne la fausse supposition, n'en ayant jamais réellement entendu parler, je ne saurais t'en dire plus que Wikipédia. D'ailleurs, j'apprécie bien plus ta correction que je trouve beaucoup plus claire; peut-être parce que la solution donnée sur Wikipédia est trop synthétique à mon goût (ce que j'aimais bien plus jeune, particulièrement en SUP et SPÉ mais que j'ai appris à détester en m'éloignant des maths de concours).

yoshi · 16-03-2024 17:23:54

Ave,

Alors, voilà un exercice de DM 3e qui m'avait été inspiré par la lecture de la BD de JP Petit "Le Geometricon" et du passage sur la notion de route orthodromique (p. 16), dont je savais qu'il serait difficile mais ils avaient consigne de revenir me voir, de présenter leur boulot et de me dire pourquoi ils étaient perdus (voilà pourquoi, je me suis trouvé bien sur ce forum), plutôt que d'aller ailleurs pour à leur place qu'on leur fasse le boulot

(La couleur, c'est pour vous : on n'avait pas de photocopieuse couleur dans mon bahut).

Un autre que j'aimais bien aussi (pas de moi, probablement) :

Mieux que la Tour, non ?

@+

DrStone · 16-03-2024 21:05:31

Bonsoir. ^_^

En voyant les questions assez détaillées de tes exercices je me suis demandé quels sont tous les soucis que pouvaient rencontrer, en moyenne, les élèves sur de tels exercices. Encore que, j'imagine déjà assez facilement que pour beaucoup, trouver ne serait-ce que la première question $2\pi\times R\times\cos(60°)\approx 20000 km$ ne devait pas être de la tarte.

La deuxième question qui m'est alors venue est, tout simplement (à poser mais pas à répondre), comment fait-on pour aider des élèves qui bloquent à chaque exercice sur la ou les premières questions, qu'importe le niveau de difficulté de celles-ci. J'imagine que ça doit aussi donner un coup au moral en tant que prof de voir des élèves ne jamais réellement réussir à s'en sortir qu'importent les efforts qu'on y met.

En tout cas, je me suis bien amusé avec ces deux exercices et ils m'ont donné envie d'en refaire d'autres ! Si tu en as encore sous le coude je serais ravi de les voir ! ^_^
Aussi, j'en chercherais donc un peu de tous niveaux (aussi bien collège, lycée, prépa…) dans toute ma bibliothèque et si certains sont intéressés, je les proposerai un peu comme le fait Borassus avec les exercices de son superbe manuel russe !

yoshi · 17-03-2024 16:32:50

RE,

@DrStone
Petite précision : je remettais pour chaque DM un corrigé détaillé où lorsque c'était possible, je montrais plusieurs solutions...
Le problème de la montagne était aussi un prétexte à montrer que lorsqu'on maîtrise le calcul littéral et la calculatrice, il était possible de ne pas effectuer les calculs numériques intermédiaires et à la fin, la calculatrice gérant parfaitement les parenthèses et la priorité des opérations, il était parfaitement possible d'obtenir le résultat demandé sans avoir traîné les calculs intermédiaires, voire de modifier l'écriture finale en remplaçant les angles par exemple par $\alpha$ et $\beta$ et les 400 m par exemple par $d$, d'obtenir une formule réutilisable à volonté à condition de remplacer à chaque utilisation $\alpha$, $\beta$ et $d$ par les bonnes valeurs numériques du cas étudié...

J'imagine que ça doit aussi donner un coup au moral en tant que prof de voir des élèves ne jamais réellement réussir à s'en sortir qu'importent les efforts qu'on y met.

Oui et Non.
Oui, si on ne relativise pas : par exemple, si j'appelle "pas" le passage d'une définition, un théorème à son application immédiate, les élèves de 3e en général ne sont pas capables de "voir" au delà de 2 pas. Ce n'est pas qu'ils sont bêtes, mais qu'ils ne sont pas (plus) préparés à cette problématique : la faute aux programmes, aux Instructions Officielles et c'est ça qui peut miner le prof (les jeunes profs sont bien moins atteints : leur cursus les a blindés)...
Un certain nombre de profs décident un jour de se montrer - raisonnablement - border line et ce en commençant dès la... 6e !
Ceux-là (et j'en fus) sont très prudents et se sont préparés à montrer en quoi leur présentation des transgressions (parole d'IPR :"Vous ne devez pas enseigner à un niveau n+1 quand vous êtes au niveau n) ne sont que des applications des notions du niveau n. Ils ont vraiment intérêt à être prêts à argumenter soigneusement, sinon... ta carrière peut en pâtir.

Tu veux une transgression ? Par ex, en 3e, quand tu étudies les identités remarquables, en prolongement de $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$,
montrer que dans certains cas on peut factoriser une expression algébrique du 2d degré (en utilisant la mise sous forme canonique).
Et enfoncer le clou pour leur montrer que ça ne marche pas toujours et pourquoi...

Non, si on prend pas ces échecs pour des insultes personnelles et qu'on relativise mais que on essaie du mieux de les préparer à voir au-delà d'un pas. La difficulté de la résolution d'un problème réside, dans le nombre d'étapes intermédiaires qu'on consent à concéder...
Ceux qui avaient choisi au Lycée, option économie par rapport à ceux qui faisaient des maths, pour les notions communes utilisaient les mêmes outils, mais les énoncés étaient simplifier et davantage guidant...

Alors, un exo 3e (pas de moi, mis à part, que tous les dessins, schémas étaient reproduits via la barre d'outils de dessin du TdT de la suite OpenOffice libre et gratuite, avec gommage des imperfections criantes via la retouche d'images photofiltre (gratuit)...

▼Arc en plein centre outrepassé

Racines carrées
J'avais récupéré les questions suivantes et les avais refourguées en DM...

Justifier vos réponses sans faire appel à la calculatrice.
Vrai ou Faux ?
Exercice 2
a)
- 3 est la moitié de $3\sqrt 2$
- $(2\sqrt 3-1)(2\sqrt 3+1)$ est un nombre entier
- $\sqrt 8+\sqrt{50}=\sqrt{98}$

Notion d'inverse (on voit - voyait ? - en 4e, la différence entre opposé et inverse. Faute de travail spécifique sur le sujet, pffttt direction les poubelles de l'Histoire !), donc j'avais décidé de tirer cette notion de l'oubli...

Exercice 3
Petit rappel : on dit qu'un nombre b ($\neq 0$) est l'inverse d'un nombre a ($\neq 0$) si et seulement si $a\times b = 1$
On peut donc écrire que $a=\frac 1 b$ ou $b=\frac 1 a$
Ainsi :
$\frac 1 3$ est l'inverse de 3 puisque $3 \times \frac 1 3= \frac{3\times 1}{3}=\frac 3 3 = 1$
$\frac {\sqrt 7}{7}$ est l'inverse de $\sqrt 7$ puisque $\sqrt 7 \times \frac {\sqrt 7}{7}= \frac{\sqrt 7\times \sqrt 7}{7}=\frac {(\sqrt 7)^2}{7} = \frac {7}{7}=1$. On peut aussi écrire que $\frac{1}{\sqrt 7}$ est l'inverse de $\sqrt 7$, donc $\frac{1}{\sqrt 7}=\frac {\sqrt 7}{7}$ Vous avez là deux écritures différentes du même nombre.

a) L'inverse de $\sqrt 2+1$ est-il $\sqrt 2-1$ ?
b) $\frac{2\sqrt 2+\sqrt 3}{5}$ est-il égal à $\frac{1}{\sqrt 8-\sqrt 3}$ (au cas où vous en auriez douté, si ! si !, cette question a bien un rapport avec la notion d'inverse)
(N-B : Oui, je dialoguais avec mes zèbres par écrit et par anticipation)
Bon, j'arrête là pour cette fois.

@+

DrStone · 17-03-2024 20:09:15

Bonsoir yoshi.

yoshi a écrit :

Le problème de la montagne était aussi un prétexte à montrer que lorsqu'on maîtrise le calcul littéral et la calculatrice, il était possible de ne pas effectuer les calculs numériques intermédiaires et à la fin, […] et d'obtenir le résultat demandé sans avoir traîné les calculs intermédiaires […]

Tout à fait ! Comme toujours, la grande force de l'algèbre qui, en trouvant la bonne abstraction pour n'importe quel problème donné, permet de le résoudre en deux temps trois mouvements. Ce n'est pas pour rien que cette mathématique moderne s'est développée à une époque où différents pays avaient un besoin croissant d'ingénieurs ; ingénieurs qui se devaient d'être en mesure de modéliser des problèmes complexes et leurs résolutions aussi efficacement que possible.

voire de modifier l'écriture finale en remplaçant les angles par exemple par α et β et les 400 m par exemple par d, d'obtenir une formule réutilisable à volonté à condition de remplacer à chaque utilisation α, β et d par les bonnes valeurs numériques du cas étudié...

Toi qui as enseigné les mathématiques modernes et sans aucun doute vingt ou trente ans encore après, as-tu vu une nette différence dans cette capacité d'abstraction entre les enfants du "tout algébrique" et ceux qui ont suivi ? Je veux dire par là, est-ce qu'en moyenne les mathématiques modernes avaient réellement un effet bénéfique sur les capacités d'abstraction ou bien cela n'a finalement pas tant servi que ça ?
Non parce que c'est bien beau d'enseigner à des millions d'enfants que $(\mathbf{D},+)$ est un groupe abélien ou que $(\mathbf{R},+,\times)$ est un corps, avec les propriétés qui vont bien ; mais si en moyenne ils sont aussi, ou moins, efficaces qu'avant ou qu'après, ce n'était peut-être pas une si bonne chose. Si en revanche il y avait effectivement des effets bénéfiques, c'est peut-être une mauvaise chose qu'on ait entièrement fait table rase de cette époque : et sans doute qu'il aurait plutôt fallu adapter cet l'enseignement plutôt que de le faire disparaitre purement et simplement.

par exemple, si j'appelle "pas" le passage d'une définition, un théorème à son application immédiate, les élèves de 3e en général ne sont pas capables de "voir" au-delà de 2 pas. Ce n'est pas qu'ils sont bêtes, mais qu'ils ne sont pas (plus) préparés à cette problématique : la faute aux programmes, aux Instructions Officielles

Oui ! J'imagine bien qu'avoir une vision globale d'un problème afin de voir plus loin que le bout de son nez n'est pas une capacité innée. Il faut dire que dans le monde normal de tous les jours, les problèmes auquels on fait fasse ne font qu rarement appel à plus d'un "pas". J'ai perdu mes clés ? Je vais aller voir dans le panier à l'entrée. J'ai pris pour 54€ de courses mais je n'ai que 49€32 sur moi, combien dois-je en retirer ?
D'autant plus que cette capacité ne peut s'acquerir qu'en réalisant des problèmes de plus en plus complexes mettant en jeu des notions déjà maitrisées (en connaissant les définitions et les propriétées) au travers de problèmes plus simples déjà résolus comme tu le dis si bien ici

Ceux qui avaient choisi au Lycée, option économie par rapport à ceux qui faisaient des maths, pour les notions communes utilisaient les mêmes outils, mais les énoncés étaient simplifier et davantage guidant...

Un certain nombre de profs décident un jour de se montrer - raisonnablement - border line et ce en commençant dès la... 6e !
Ceux-là (et j'en fus) sont très prudents et se sont préparés à montrer en quoi leur présentation des transgressions […] ne sont que des applications des notions du niveau n. Ils ont vraiment intérêt à être prêts à argumenter soigneusement, sinon... ta carrière peut en pâtir.

Je me demande comment dans la logique, en place depuis 40 ans, d'une simplification à l'extrême, il est possible d'arriver à justifier qu'un approfondissement à quand même sa place. Est-ce seulement possible ? Après tu as la chance d'être à la retraite depuis une quinzaine d'années. J'imagine donc que tu as en quelque sorte eu de la chance dans ton malheur et que c'est d'autant plus compliqué de justifier de tels atrocités pour les professeurs actuellement en services.

Non, si on prend pas ces échecs pour des insultes personnelles et qu'on relativise mais que on essaie du mieux de les préparer à voir au-delà d'un pas. La difficulté de la résolution d'un problème réside, dans le nombre d'étapes intermédiaires qu'on consent à concéder...

Je comprends, il s'agit donc de trouver le bon dosage et d'adapter la recette à la marge en fonction des années et des élèves qui se trouvent devant soi. De fait, je suppose que ça devait être plus démoralisant les premières années, en tant que jeune professeur qui a tout à découvrir, que plusieurs années après lorsqu'on a de la bouteille et qu'il est alors bien plus facile d'adapter un cours à la marge.
Cela me fait penser, comment se sont passés ces primes années d'enseignement pour toi ? D'autant plus que tu as dû arriver dans un collège dans l'époque de toutes les folies. N'était-ce pas trop dur de satisfaire les délires de la commission Lichnerowicz en tant que jeune professeur ? Sans parler des parents qui devaient être bien difficiles à contenter !

Dernière modification par DrStone (17-03-2024 20:12:50)

yoshi · 17-03-2024 22:11:46

Bonsoir,

Si Borassus a eu un parcours atypique, le mien ne l'a pas été moins...
Je dispose du CAP Primaire, du CAPCEG et enfin du CAPES...
J'ai enseigné en 6e/5e le jeu d'échecs (j'avais puisé dans le jeu les éléments techniques susceptibles de développer les capacités de réflexion).
Mes débuts en 71/72 ont été brutalement interrompus un 3e trimestre pour cause de force majeure : j'avais perdu entre 6e/5e 11 mômes pour 72 au total sur l'établissement, fauchés dans leur sommeil...
Parmi eux, il y avait un adorable petit martiniquais (52 ans plus tard ses nom et prénom sont toujours dans ma mémoire). Il m'avait fait sourire un jour : en bon prof de maths, j'avais dicté "petit a" : a)... Malheureusement, j'avais fait la liaison et sur son cahier, il avait écrit : "petit tas"...

A l'époque, il n'y avait pas de cellule de soutien psychologique et j'avais mis plus d'1 an à me reconstruire : il faut dire qu'au choc initial s'était ajouté celui de la gestion des Parents que nous les profs avions la charge de recevoir 7j/7j les parents venus aux nouvelles, le temps qu'on arrête les fouilles pour retrouver les corps. Cette gestion des parents avait été nerveusement éprouvante...
Je me souviens encore d'une gamine de 5e qui avait 20 de moyenne au 1er et 2e trimestre que j'avais encouragée et félicitée chaudement :
- c'est formidable, tu comprends bien et tout de suite ! Tu ne voudrais pas devenir prof de maths plus tard ?
- Ah non, sûrement pas !
- Bin... Pourquoi donc ??
- Ils deviennent tous gâteux avant l'âge...
Fermez le ban...^_^

J'ai aussi fait de la PST (Promotion Sociale du Travail) : je remettais au niveau (en arithmétique), des adultes que la maladie une fois passée, obligeait au changement de métier). Donc cela explique que l'arithmétique, en plus de ma des cours de ma scolarité, m'a fortement marqué et que en faire ne me gêne pas plus que ça et j'ai vu arriver les "Maths modernes" : séduisantes sur le papier mais génératrices d'enfants acalculiques (oui, c'est mon néologisme du jour).
Et c'était irréparable : une génération sacrifiée ! Et pas de calculette à l'époque ! Les chanceux dont j'étais avaient une règle à calcul. La mienne était au top, modèle Neperlog... On pouvait tout faire : multiplications, divisions, puissances avec des entiers ou décimaux avec 1 chiffre décimal), calculs trigonométriques : sur les chantiers, dans les bureaux ceux qui pouvaient en avoir besoin à tout avaient un modèle qui tenait dans la poche de chemise 10/12 cm de long, la mienne mesurait (mesure ! Je l'ai toujours...) 30 cm de long sur 5 à 6 de large...
Mais franchement par rapport aux calculettes, c'était d'un usage fastidieux...
Un jour notre formateur pédagogique était arrivé fier comme Artaban et nous avait fait partager sa fierté...
Dame ! Son fils, la veille, lui montrant deux coupes de fruits différents, avait déclaré : Papa, ces 2 ensembles de fruits sont équipotents !
On voyait très tôt, loi de composition interne, structure de groupe... il fallait aller jusqu'à ne plus dire : ces 2 segments ont la même longueur mais appartiennent à la même longueur... On avait réussi à transiger et pouvoir dire sont la même longueur...
C'est que la longueur était la propriété caractéristique commune à un ensemble de segments superposables... Les angles, même combat : Il y avait de quoi se faire des nœuds à la langue !
Je me souviens d'avoir enseigné les notions de fonction, d'application qui pouvaient relier deux ensembles...
Je ne sais plus si c'était à la même époque, mais je me souviens d'avoir dû enseigner les Barycentres en 4e !!! Et maintenant ils sont enseignés où les Barycentres ?
J'ai vu passer ensuite les réformes... Après cet épisode, on était revenu à des programmes classiques...
Mais j'ai vu année après année (je dois exagérer la cadence...) disparaître des pans de programmes, par ex plus de calculs PPCM PGCD via décomposition en facteurs premiers, mais les calculs de fractions restaient : avec mes collègues, on s'était dit que ça allait être pratique pour chercher les dénominateurs communs... :-(( Mais rapidement les calculs de fractions eux-mêmes avaient été relookés, limitation des calculs à des dénominateurs multiples simples de 2, 3, 5...
Multiplication des fractions en 5e, division en 4e...
Exit mes calculs de fractions à 4 étages de sommes exigeant de simplifier d'abord pour ne pas être embarqués dans des calculs très longs...
Exit les problèmes un peu évolués exigeant sommes, différences produits et quotients de fractions... M'en fous, j'en donnais quand même en DM ! (Arithmétique quand tu nous tiens...)
En primaire, ils n'apprennent plus que la division euclidienne (sans la nommer bien sûr) ; 6e : quotient décimal de deux entiers, quotient d'un décimal par un entier, 5e division de 2 décimaux.
En 5e : addition, soustraction des relatifs (limités aux entiers je crois), simplification d'criture
En 4e : produit des relatifs. Là, paf ! on introduit ex nihilo la règle des signes... Pourquoi cette règle ? C'est comme ça, circulez y a rien à voir...
Un jour, je me suis décidé à récrire - à ce propos - l'histoire à ma façon : ça me prenait une séance après quoi, il n'y avait plus de question...
Peut-être que c'est bien comme ça que la Règle a été trouvée, j'en doute, mais je suis satisfait de ma version :
J'avais besoin de +2 = 2 (classe de 5e) et distributivité et je remontrais tout avec des exemples numériques.
Je te montrerais plus tard...

@+

Borassus · 17-03-2024 23:45:32

Bonsoir yoshi,

J'ai laissé passer ces échanges en me promettant de m'y plonger plus tard.

Mes débuts en 71/72 ont été brutalement interrompus un 3e trimestre pour cause de force majeure : j'avais perdu entre 6e/5e 11 mômes pour 72 au total sur l'établissement, fauchés dans leur sommeil...

De quel drame effroyable s'agit-il ??

Borassus · 17-03-2024 23:55:26

Si Borassus a eu un parcours atypique

" Un peu plus" que ce que j'en ai dit...

Je me serais bien passé de cette atypicité. (Moi aussi, j'aime créer mes néologismes. :-)

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