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Ibrahim1

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Correction de l'Exercice "Une erreur classique"

Bonjour,

Je travaille sur cet exercice : https://www.bibmath.net/ressources/just … hp?id=1127 qui porte sur l'étude de la convergence d'une série dont le terme général $u_n$ est le suivant :
\[ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} \]

Le développement limité du terme général $u_n$ est :
\[ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} + o\left(\frac{1}{n\sqrt{n}}\right) \]

Je souhaite appliquer l'une de ces propriétés ici : https://www.bibmath.net/ressources/inde … serie.html qui stipule que :
À l'aide de développements limités, décomposer le terme général \( u_n \) sous la forme \( u_n = v_n + O(w_n) \), où on sait étudier la nature des séries \( \sum v_n \), et où on sait que la série \( \sum w_n \) est absolument convergente. Dans ce cas, la série \( \sum u_n \) aura le même comportement que la série \( \sum v_n \) (voir cet exercice).

Après le développement, nous savons que la série $\sum \frac{1}{n\sqrt{n}}$ (ou même la série alternée $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$) est absolument convergente. Donc, selon la propriété mentionnée, nous devrions pouvoir en déduire que puisque $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge également.
Cependant, cela semble en contradiction avec la réponse de l'exercice, qui indiquent que la série $\sum u_n$ diverge. Ai-je mal interprété l'application de cette propriété, ou y a-t-il une subtilité que je n'ai pas prise en compte?

Je vous remercie pour toute aide ou clarification que vous pourriez m'apporter.

Zebulor

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Re : Correction de l'Exercice "Une erreur classique"

Bonjour,

Ai-je mal interprété l'application de cette propriété, ou y a-t-il une subtilité que je n'ai pas prise en compte?

Non pas une subtilité mais à te lire le terme $\dfrac {1}{n}$ de ton développement limité de $u_n$, c'est lui qui fait toute la différence...
CV+CV+CV+DV ca fait CV+DV ou plus simplement DV d'où la divergence de la série en question.

Dernière modification par Zebulor (16-03-2024 14:53:14)