Logique

DROUET Eric · 09-11-2023 19:26:40

Bonjour. Je lis dans l'article de Jan Lukasiewicz contre le déterminisme (Ecrits logiques et philosophiques, Librairie Vrin, 2 013), la phrase suivante (page 93) :
" Considérons un intervalle de temps [0, 1]. Supposons que 0 = instant présent et 1 = un instant futur et que les causes de ce fait se produisent à des instants déterminés par des nombres réels plus grands que 1/2. Cette séquence de causes est donc infinie et n'a pas de commencement, c'est-à-dire de cause première. En effet, cette cause première devrait se produire à l'instant correspondant au plus petit nombre réel supérieur à 1/2. Mais il n'y a pas de nombre réel de ce type. Même le plus petit nombre rationnel plus grand que 1/2 n'existe pas (...) En effet il n'y a pas 2 nombres se succédant l'un l'autre immédiatement, c'est-à-dire étant voisins l'un de l'autre : entre 2 nombres quelconques, il y en a toujours un troisième et par conséquence il y a un nombre infiniment grand de nombres entre 2 quelconques d'entre eux"

J'ai l'impression (sans certitude) de comprendre intuitivement cette phrase comme signifiant qu'entre 2 nombres réels, il y a une infinité de nombres, mais je ne suis pas sûr de moi et je souhaiterais une explication plus détaillée. L'argument est-il lié au fait que 1/2 est ici la borne inférieure de l'interval [1/2, 1]?

En vous remerciant de votre aide
Eric

Glozi · 09-11-2023 20:30:11

Bonsoir,

Je pense que l'auteur essaye de dire que $]1/2,1]$ n'a pas de plus petit élément. Le minimum de cet ensemble n'existe pas, l'infimum de cet ensemble existe et vaut $1/2$. Je ne sais pas quel est la suite du raisonnement, mais il faut prendre garde à ne jamais trop extrapoler les propriétés mathématiques de l'ensemble $\mathbb{R}$ à des éventuelles propriétés du temps de notre univers. Les physiciens modélisent souvent le temps comme $\mathbb{R}$ et l'espace comme $\mathbb{R}^3$, ce sont des bonnes modélisations à notre échelle humaine, mais ils savent également ne pas abuser des propriétés mathématiques de ces ensembles (sinon on aboutit au paradoxe de Hausdorff-Banach-Tarski par exemple !).

Bonne soirée

Bernard-maths · 09-11-2023 20:57:46

Bonsoir à tous !

Je vais me risquer à donner quelques compléments ...

Les ensembles de nombres N, Z, Q, R, C sont infinis, en ce sens qu'ils contiennent une infinité de nombres ...

Si on se cantonne à N et Z, entre 2 nombres il en existe une quantité finie. Par ex, entre -2 et 3, il existe -1, 0, 1 et 2.

Par contre pour les autres ...
Pour Q, entre 2 rationnels il en existe une infinité ! Cependant il est possible d'établir une (des) bijection(s) entre Q et N, ou Z. On dit alors que Q est dénombrable ... (très joli ...)

Ce n'est plus le cas de R, ni de C. Pour R, entre 2 réels il en existe une infinité !

Pour C c'est plus délicat ... pas d'intervalle au sens réel. Mais si l'on prend 2 complexes c1 et c2, par la représentation dans le plan complexe, on associe 2 points M1 et M2. Alors le segment [M1M2] représente un ensemble de complexes en nombre infini. En ce sens on peut dire qu'entre 2 complexes il en existe une infinité !

Pour en revenir à l'énoncé, dans Z un intervalle ouvert ]a,b[ (avec b > a+2) possède un plus petit élémént (qui est a+1).

MAIS dand R ce n'est plus vrai ! Si ]a,b[ est un intervalle réel, supposons que c soit considéré comme plus petit élément de ]a,b[, eh bien y'a un os, car (a+c)/2 est plus petit que c, et appartient encore à ]a,b[ !

L'auteur joue sur le fait qu'il y a toujours "quelque chose avant" ... et qu'on ne peut atteindre le début ...?

On trouve ce paradoxe avec (j'ai oublié le nom ?) Achille etla tortue ... (à chercher sur le net !)

Bonne soirée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (09-11-2023 21:11:35)

Zebulor · 09-11-2023 22:39:03

Bonsoir,

Glozi a écrit :

.. mais il faut prendre garde à ne jamais trop extrapoler les propriétés mathématiques de l'ensemble $\mathbb{R}$ à des éventuelles propriétés du temps de notre univers..

Ca me rappelle la réflexion d'un vieux prêtre qui me disait récemment que nous vivons dans l illusion de la continuité du temps...

DROUET Eric · 10-11-2023 10:35:49

Merci beaucoup pour ces éclaircissements, en particulier à Bernard-Math dont la réponse est parfaitement éclairante. Il est vrai, alors même que je suis un spécialiste des penseurs éléates (Xénophane de Colophon, Parménide, Zénon d'Elée, Mélissos de Samos) qui sont les introducteurs dans la pensée occidentale de la logique binaire, que je n'avais pas pensé aux paradoxes de Zénon et en particulier à celui d'Achille et de la tortue. Je suis preneur d'autres avis et commentaires.
Eric

Zonun · 12-03-2024 12:01:47

Bonjour,

Eric a raison, Il y a une infinité de X tel que A<X<B en ayant A<B

Dernière modification par yoshi (12-03-2024 14:00:58)

Bernard-maths · 12-03-2024 12:36:14

Bonjour à tous !

Soit a < b deux réels, et n un entier > 0. On peut diviser l'intervalle ]a,b[ en n parts égales, définissant du coup n-1 nombres réels compris entre a et b ... Et n peut tendre vers l'infini ... donc une infinité de nombres réels entre a et b !

B-m

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