Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

Borassus · 24-02-2024 09:35:54

Bonjour,

Et voici que réapparaît Borassus ! (Vous avez peut-être remarqué que je me suis mis en silence radio pendant trois jours. :-)

La fonction inverse $\dfrac 1 x$ est évidemment réciproque d'elle-même : $\dfrac {1}{\frac 1 x} = x$.

Je me suis rendu compte dernièrement que la fonction $-x + b$ est elle aussi réciproque d'elle-même ! $- (-x + b) + b = x - b + b = x$.

Question, donc, de curiosité — vous êtes curieux ? comme c'est curieux ! — :
Existe-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" ?

Merci d'avance de vos (toujours) précieuses indications !

Bonne journée

Dernière modification par Borassus (24-02-2024 15:36:20)

Rescassol · 24-02-2024 10:07:00

Bonjour,

Ça s'appelle une involution (ou une application involutive).
Par exemple $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx-a}$.

Cordialement,
Rescassol

Borassus · 24-02-2024 14:31:30

Bonjour et merci Rescassol,

Effectivement :

$\dfrac {a \frac{ax + b}{cx -a} + b}{c \frac {ax + b}{cx - a} -a}$

= $\dfrac {a^2x + ab + bcx -ab}{acx + bc -acx + a^2}$

= $\dfrac {a^2x + bcx}{a^2 + bc} = \dfrac{(a^2 + bc)x}{a^2 + bc} = x$

Est-ce qu'il y a d'autres exemples aussi joli accessibles au niveau collège / lycée ?

Mieux : Comment en créer ?

Dernière modification par Borassus (25-02-2024 00:31:28)

Borassus · 24-02-2024 15:25:54

Je garde cette fonction en mémoire !

Je me suis en effet maintes fois rendu compte que les élèves savent calculer l'image d'une valeur (f(0), f(-3), f(5), etc.), mais ne savent pas calculer l'image d'une fonction, y compris en Terminale, tout simplement parce qu'ils n'ont pas compris que la définition d'une fonction décrit sa logique de calcul, et que dans $f(x)$, la variable $x$ peut représenter n'importe quoi.

DrStone · 24-02-2024 17:09:21

Bonjour.

Question d'un non prof qui n'y connait pas grand-chose en transmission des savoirs.
Sachant qu'une fonction $f$ numérique de la variable réelle ($f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{R}$) est une involution si $f\circ f(x)=x$, et que la simplicité étant toujours ce qu'il y a de plus beau, pourquoi ne pas utiliser la fonction la plus simple possible, $f(x)=-x$ ? Au moins ça évite les calculs (fastidieux ou non) et ça permet de se concentrer sur l'essentiel. Non ?

DrStone · 24-02-2024 17:27:00

Notez que le mieux serait probablement, pour se rendre compte efficacement de ce qu'est une involution, d'utiliser des involutions affines, comme par exemple l'application orthogonalité $\omega$ qui, pour une droite $\delta$ donne $\omega(\omega(\delta))=\delta$. À mon époque c'était vu en troisième, mais ça devient compliqué à mettre en place de nos jours… ce qui est dommage car, comme souvent, la géométrie permet d'éclairer beaucoup de notions de part son aspect visuel : elle permet ici de se rendre compte visuellement de ce qu'est une involution.

Dernière modification par DrStone (24-02-2024 17:55:25)

DeGeer · 24-02-2024 19:02:40

Bonjour
Si $f : F \rightarrow F$ est involutive et $g : E \rightarrow F$ est bijective, alors $g^{-1} \circ f \circ g : E \rightarrow E$ est involutive.

Dernière modification par DeGeer (24-02-2024 19:03:25)

Borassus · 24-02-2024 20:23:32

DrStone a écrit :

Bonjour.
Pourquoi ne pas utiliser la fonction la plus simple possible, $f(x)=-x$ ? Au moins ça évite les calculs (fastidieux ou non) et ça permet de se concentrer sur l'essentiel. Non ?

Bonsoir Doc,

Justement, c'est trop simple !
Ils comprennent très aisément que l'inverse de l'inverse d'un nombre est le nombre lui-même, et que l'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même.

Par contre, s'ils savent reconnaître la structure d'une fonction composée (le plus souvent, à seulement deux niveaux d'imbrication...), ils savent beaucoup moins élaborer une fonction composée à partir d'une fonction initiale, et je les vois régulièrement buter sur $f \circ f$.

Je m'en rends très souvent compte lors de l'écriture par rapport à un cas concret du taux d'accroissement exprimé sous la forme $\dfrac {f(a + h) - f(a)}{h}$ : $f(a+h)$ leur pose problème...

Je m'en rends aussi compte lorsque dans un exercice à rallonge (en générale en Terminale) on demande de démontrer une égalité ou une inégalité en $x$, et qu'ensuite on leur demande d'en déduire telle égalité ou telle inégalité pour laquelle il faut simplement remplacer $x$ par une expression particulière. Ils sont alors incapable de voir que les structures sont identiques.

Dernière modification par Borassus (24-02-2024 20:25:49)

Borassus · 24-02-2024 20:40:02

DrStone a écrit :

[...] comme par exemple l'application orthogonalité $\omega$ qui, pour une droite $\delta$ donne $\omega(\omega(\delta))=\delta$. [...]

Cela, ils le comprennent aisément aussi.

C'est le déchiffrage de la structure et de la logique d'une fonction qui leur pose problème. (On les biberonne trop à $f(x)$, avec pour seule variable possible $x$. Je leur apprends à raisonner en "f de quelque chose" et leur explique que la variable de telle fonction "s'entend" : « racine carrée DE », « exponentielle DE », y compris lorsqu'il y a plusieurs "de" successifs.)

Je suis certain que l'exemple cité par Rescassol fera patiner (presque) tous mes élèves, et leur sera un excellent exercice pour comprendre la structure et la logique d'une fonction. Qu'ils retrouvent avec étonnement la variable initiale $x$ est presque secondaire.

DrStone · 24-02-2024 21:18:03

Oh ! Je comprends mieux ta problématique que j'avais visiblement mal cernée. En effet, l'exemple de notre ami est intéressant et occupera un bon moment tes petites têtes blondes. ^_^

Borassus · 24-02-2024 21:36:52

Voilà ! :-)

Même $-x +b$ ne leur sera pas évident...

PS : Je crois que je n'ai pas une seule tête blonde. :-)

DrStone · 24-02-2024 22:47:10

On en a déjà parlé, ils manquent d'entrainement «technique»… Mais bon, comme toujours «on évitera toute technicité». :=) Si encore ils avaient une compréhension profonde des outils sous-jacents, ce serait un mal pour un bien ; mais j'ai l'impression qu'ils en sont loin.

Partons sur des têtes brunes alors ! Ou même des têtes tout court !

jelobreuil · 24-02-2024 23:58:25

Bonsoir, Borassus,
J'aurai ce soir appris, ou réappris après un trop long oubli, ce qu'est une involution, grâce à cette discussion ... Merci !
Je me permets de te signaler une erreur (de frappe, de copier-coller ? ...) dans la deuxième ligne de calcul de ton message #3 : il y a un "ab" au lieu d'un "bc", qui apparaît (mystérieusement !) dans la ligne suivante, en bonne place ...
Bien amicalement, JLB

Borassus · 25-02-2024 00:25:24

DrStone a écrit :

On en a déjà parlé, ils manquent d'entrainement «technique»… Mais bon, comme toujours «on évitera toute technicité». :=) Si encore ils avaient une compréhension profonde des outils sous-jacents, ce serait un mal pour un bien ; mais j'ai l'impression qu'ils en sont loin.

Le problème n'est pas tant dans le manque d'entraînement technique — qui, comme je l'écrivais dans un de mes posts, relève maintenant d'une sorte de "dressage", dans le sens quasi pavlovien du terme — que, oui, dans la non transmission par les différents acteurs de la compréhension profonde.

C'est véritablement étonnant, une très grande partie des formules enseignées sont limitées au strict minimum et ne traduisent pas du tout la logique générale.

Trois exemples, parmi beaucoup d'autres :

$(a + b)^2$ ; mais un élève lambda ne sait pas développer $(a + b + c)^2$.
(Je crois l'avoir écrit : un élève de Terminale options maths m'a répondu « Ben, j'écris $(a + b +c)(a + b +c)$ et je développe. Sa réponse est tout à fait révélatrice.)

$a^2 - b^2$, exceptionnellement $a^3 - b^3$, jamais au-delà ;

ln(ab) = lna + lnb, sans expliquer la logique générale qui est « le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs composant le produit, quel que soit le nombre de facteurs. »

Mais je me rends aussi compte que les profs (et les auteurs) ne comprennent parfois pas eux-mêmes la logique de ce qu'ils enseignent.
L'exemple que je cite souvent est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, par exemple de $u_0$ à $u_n$.
Je vois :

$S_n = (n + 1) \dfrac {u_0 + u_n}{2}$, qui est effectivement la formule correcte, mais expliquée comme étant le nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier termes.
(En français "michunien", la "demi-somme" de deux nombres s'appelle la moyenne de ces deux nombres.
Et on n'explique pas que c'est comme si tous les termes considérés étaient égaux à cette moyenne.)

Mais aussi $\dfrac{n + 1}{2} (u_0 + u_n)$
(Quid si le nombre de termes est impair ?)

Mais aussi $\dfrac {(n + 1)(u_0 + u_n)}{2}$
(Le nombre de termes, multiplié par la somme du premier et du dernier termes, le tout divisé par 2. Signification ?)

Je ne leur jette cependant pas la pierre : je vois par moi-même avec quelle difficulté je me libère peu à peu, et de façon permanente, des formules — il n'y pas une seule semaine où je ne progresse pas dans ma compréhension, et dans la transmission de cette compréhension —, alors que je n'ai pas été formaté par un quelconque sérail...

Dernière modification par Borassus (25-02-2024 00:36:31)

Borassus · 25-02-2024 00:35:47

jelobreuil a écrit :

Bonsoir, Borassus,
J'aurai ce soir appris, ou réappris après un trop long oubli, ce qu'est une involution, grâce à cette discussion ... Merci !
Je me permets de te signaler une erreur (de frappe, de copier-coller ? ...) dans la deuxième ligne de calcul de ton message #3 : il y a un "ab" au lieu d'un "bc", qui apparaît (mystérieusement !) dans la ligne suivante, en bonne place ...
Bien amicalement, JLB

Bonsoir jelobreuil,

Je suis content de voir que je réveille de vieux souvenirs. :-)

Effectivement, j'avais fait une erreur de saisie (ou de copier-coller).
Ta remarque m'a permis de découvrir une deuxième erreur à la troisième ligne : $a^2$ au lieu de $a^2x$.

J'ai donc corrigé les deux erreurs. Merci.

Bien amicalement aussi. B.

Borassus · 25-02-2024 00:41:56

DeGeer a écrit :

Bonjour
Si $f : F \rightarrow F$ est involutive et $g : E \rightarrow F$ est bijective, alors $g^{-1} \circ f \circ g : E \rightarrow E$ est involutive.

Bonsoir DeGeer,

J'essaie de trouver un exemple illustrant ce que tu écris.
As-tu un exemple à nous proposer ?

Borassus · 25-02-2024 01:02:15

Borassus a écrit :

$S_n = (n + 1) \dfrac {u_0 + u_n}{2}$

Mais je vois dans des formulaires les deux expressions suivantes l'une après l'autre :

$u_0 + u_1 + u_2 + ... u_n = (n + 1) \dfrac {u_0 + u_n}{2}$

et

$1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac {n(n + 1)}{2}$

Soyons homogène (ou cohérent), voulez-vous :
Savoir compter de 1 à n est la toute première suite arithmétique qu'a connue l'humanité, et qu'assimile chaque petit enfant tout fier de compter sur ses petits doigts : la suite de raison $1$ et de premier terme $1$. (Mais la maîtresse ne dit pas à ses petits élèves « Aujourd'hui nous allons apprendre la suite arithmétique de raison $1$ et de premier terme $1$. Le sait-elle elle-même ? :-)

Mais l'égalité $1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac {n(n + 1)}{2}$ provient d'un artifice de calcul (que la légende prête à Gauss, dont c'est aujourd'hui l'éphéméride), et ne traduit pas une logique de fond !

Pour être cohérent avec l'expression concernant la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, il faudrait écrire la somme des $n$ premiers entiers naturels sous la forme $n \dfrac {1 + n}{2}$.

Mias, Monsieur, PERSONNE ne l'écrit comme cela !! C'est du n'importe quoi !

Dernière modification par Borassus (25-02-2024 01:03:17)

Roro · 25-02-2024 10:08:34

Bonjour,

Merci de laisser un peu de liberté aux mathématiques !!!

Je lis régulièrement les posts et j'ai l'impression qu'il est souvent écrit qu'on devrait faire comme-ci, comme-ça, que ce qui est écrit ne l'est pas bien, etc. (je ne parle que de la formulation pas de la justesse). Parfois, c'est en effet pédagogique d'écrire les choses d'une certaine façon, mais il y a probablement toujours des arguments pour l'écrire d'une autre.

Je voulais le dire parce que je me suis demandé pourquoi le mot "cohérent" était souligné ci-dessous, et pourquoi Borassus a écrit "il faudrait". C'est assez énervant de vouloir nos imposer des idées :

Borassus a écrit :

Pour être cohérent avec l'expression concernant la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, il faudrait écrire la somme des $n$ premiers entiers naturels sous la forme $n \dfrac {1 + n}{2}$.

Sur cet exemple, ça ne me gène pas du tout d'écrire que la somme des $n$ premiers entiers naturels vaut $\frac{n(n+1)}{2}$. En tout cas, pas plus que de dire que l'aire d'un triangle vaut $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$.

Bref, je le répète : un peu d'indulgence et de liberté ne nuit pas toujours ! Et je rajouterai qu'il est bon de laisser cette liberté aux élèves qui vont croiser plusieurs enseignants différents... et auront le plaisir de se faire eux-même leur idée.

Roro.

Dernière modification par Roro (25-02-2024 14:29:23)

Borassus · 25-02-2024 11:07:11

Bonjour Roro, et bonjour tout le monde.

Pan sur le bec ! Merci de ta remise à l'ordre, tout à fait pertinente, qui me donne matière à réflexion, ... et, surtout, à inflexion.

J'y répondrai de façon plus consistante ce soir car là je me prépare à partir pour une excursion touristique à Laon.
Mais je réfléchirai en route à la proposition d'une formulation moins "tyrannique" de la somme de n entiers. :-)

Bonne journée de dimanche.

Borassus · 26-02-2024 11:53:19

Bonjour tout le monde, bonjour Roro,

Je me rends compte à la suite de ton message que ma volonté permanente de me libérer des nombreuses formules indéfiniment répétées — j'utilise l'adjectif peu amène "bêlées" — entraîne, non seulement un indéniable énervement permanent contre l'enseignement des maths tel qu'il est pratiqué, mais aussi une attitude quelque peu péremptoire pouvant se traduire par quelque chose comme « Mais enfin ! comment les profs et les auteurs peuvent-ils ne pas voir l'évidence que, moi, je vois ??!! »

Donc, oui, une certaine indulgence est nécessaire !
Et l'attitude que je dois apprendre à pratiquer est plutôt « L'écriture courante est celle-ci. Je te propose cette autre lecture qui te permet de voir la concordance — plutôt que "cohérence" — de notions pouvant sembler différentes. »

En appliquant cette attitude à l'exemple cité, la reformulation moins "despotique" de la somme des $n$ premiers entiers naturels pourrait être :

« En remarquant que compter est la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1 — c'est d'ailleurs la toute première suite arithmétique connue et apprise —, on peut écrire la somme des $n$ premiers entiers naturels sur le modèle de la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique : $n \dfrac {1 + n}{2}$.
Certes, cette écriture est totalement inhabituelle — moi-même j'utilise la formule classique $\dfrac {n(n+1)}{2}$ —, mais elle permet de se rendre compte qu'une formule, même si elle est systématiquement répétée, ne doit pas être prise à la lettre comme une vérité absolue. »

Merci donc, Roro, de ton intervention qui a pour moi une portée dépassant le cadre de mes cours et de ma présence quelque peu conséquente (trop ? :-) sur les forums Collège/lycée et Supérieur !

Je me permets toutefois un petit bémol :

Roro a écrit :

Et je rajouterai qu'il est bon de laisser cette liberté aux élèves qui vont croiser plusieurs enseignants différents... et auront le plaisir de se faire eux-mêmes leur idée.

Je vois, à travers les notes de cours et polycopiés, très peu d'enseignants faisant montre d'une certaine individualité — de mémoire, deux seulement, l'un d'un lycée public local de bon aloi, l'autre d'un lycée privé prestigieux.
Comme, en outre, les élèves ne cherchent malheureusement plus vraiment à comprendre et à apprendre par eux-mêmes, je doute du plaisir qu'ils auront à se faire eux-mêmes une idée si on ne les entraîne pas à "voir autrement".

Bonne journée de début de semaine.
Bien cordialement,
Borassus

PS : Merci encore, Roro !

Dernière modification par Borassus (26-02-2024 17:31:59)

Zonun · 11-03-2024 11:41:55

Bonjour Je dirais -1+b
x

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 24-02-2024 09:35:54

Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#2 24-02-2024 10:07:00

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#3 24-02-2024 14:31:30

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#4 24-02-2024 15:25:54

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#5 24-02-2024 17:09:21

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#6 24-02-2024 17:27:00

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#7 24-02-2024 19:02:40

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#8 24-02-2024 20:23:32

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#9 24-02-2024 20:40:02

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#10 24-02-2024 21:18:03

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#11 24-02-2024 21:36:52

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#12 24-02-2024 22:47:10

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#13 24-02-2024 23:58:25

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#14 25-02-2024 00:25:24

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#15 25-02-2024 00:35:47

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#16 25-02-2024 00:41:56

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#17 25-02-2024 01:02:15

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#18 25-02-2024 10:08:34

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#19 25-02-2024 11:07:11

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#20 26-02-2024 11:53:19

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

#21 11-03-2024 11:41:55

Re : Y a-t-il d'autres fonctions "autoréciproques" que 1/x et -x + b ?

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