limite énigme

reiman96 · 05-03-2024 02:24:20

Bonjour á tous,
j'ai trouvé cette limite dans un exercice de synthèse et je n'ai aucune idée á propos :

$ \lim\limits_{x \to 0}( \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e})^{\frac{1}{sin(x)}}$

Avez-vous un astuce ?

Merci d'avance.

Borassus · 05-03-2024 09:22:20

Bonjour reiman

Dans un premier temps, en posant $X = \dfrac 1 x$, l'expression $(1 + x)^{\frac 1 x}$ se transforme en une limite bien connue...

(Cette observation préliminaire est trop tentante pour être omise, d'autant plus du fait de la présence de $e$ au dénominateur. La suite est pour l'instant effectivement moins évidente.)

Dernière modification par Borassus (05-03-2024 11:40:01)

Roro · 05-03-2024 11:55:04

Bonjour,

Cette question est-elle vraiment niveau collège-lycée ?

A part utiliser les développements limités (qu'on peut toujours contourner d'une manière plus ou moins tordue), je ne vois pas de méthode simple; d'où ma question sur le niveau !

Je n'ai pas forcément envie de faire le changement de variable proposé par Borassus car je préfère utiliser les développements limités en $0$ plutôt qu'en $+\infty$, mais il a peut être une autre idée en tête.

En tout cas, un réflexe souvent bien utile lorsqu'on rencontre des puissances un peu exotiques (non entière par exemple), c'est d'utiliser la forme exponentielle :
$$a^b = \mathrm e^{b\ln(a)}.$$

L'expression ici devient
$$\Bigg( \frac{(1+x)^\frac{1}{x}}{\mathrm e} \Bigg)^{\frac{1}{\sin x}} = \mathrm{exp}\Big( \frac{\frac{1}{x}\ln(1+x)-1}{\sin x} \Big).$$

Roro.

Black Jack · 05-03-2024 12:16:16

Bonjour,

En 4 lignes ... avec la formule du génial Marquis.

f(x) = ...

ln(f(x)) = [ln(1+x)-x]/(x.sin(x))

lim(x-->0) ln(f(x)) est une indét du type 0/0 --> règle du génial Marquis : = lim(x-->0) (1/(1+x) -1)/(sin(x)+x.cos(x)) = lim(x-->0) -x/(sin(x)+x.cos(x))

indét du type 0/0 --> règle du génial Marquis : = lim(x-->0) -1/(cos(x)+cos(x)-x.sin(x)) = -1/2

Donc lim(x-->0) f(x) = e^(-1/2)

Borassus · 05-03-2024 12:23:46

Bonjour Roro,

Merci de cette précieuse contribution !

Le limite est donc $e^{-1/2} \approx 0,606$, ce que confirme notre incontournable ami GeoGebra.

Roro a écrit :

Je n'ai pas forcément envie de faire le changement de variable proposé par Borassus car je préfère utiliser les développements limités en $0$ plutôt qu'en $+\infty$, mais il a peut être une autre idée en tête.

Non, je n'avais pas une autre idée en tête, sinon de montrer que la limite relève d'une indétermination de type $1 ^\infty$ (si $x > 0$).

Quant au niveau, j'explique les développements limités dès la Première en partant de la fameuse équation de la tangente $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ qui, en inversant l'ordre des termes, n'est rien d'autre que le développement de Taylor d'ordre 1.
Cela passe comme lettre à la poste, et je ne me suis jamais heurté à l'incompréhension d'un(e) élève.

Roro · 05-03-2024 12:28:16

Disons qu'appliquer deux fois cette règle de l'Hospital revient pour moi à faire un développement limité sans le dire...

Parce que si on veut donner la solution directement, il n'y a pas besoin de 4 lignes puisque une fois la formule écrite comme je l'ai fait (en une ligne), le résultat découle directement des développements $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\sin(x)=x+o(x)$...

@Borassus : pour l'ordre 1, oui c'est juste la tangente. Pour l'ordre 2 c'est moins "évident"...

Roro.

Borassus · 05-03-2024 12:30:36

Black Jack a écrit :

En 4 lignes ... avec la formule du génial Marquis. [...]

Autre approche effectivement (qui serait plus confortablement lisible en LaTeX. :-)

Mais, en développements (très) limités : $ln(1 + x) \approx x - \dfrac {x^2} 2$ et $sinx \approx x$ ...

Borassus · 05-03-2024 12:37:36

Roro a écrit :

@Borassus : pour l'ordre 1, oui c'est juste la tangente. Pour l'ordre 2 c'est moins "évident"...

J'explique, avec exemples graphiques à l'appui, que pour améliorer l'approximation, il suffit de "tordre" la tangente pour obtenir une courbe du second degré, puis du troisième degré, puis du quatrième degré..., améliorant ainsi de mieux en mieux l'approximation en $x_0$.

Par contre, je n'explique pas, du moins oralement, comment s'obtiennent les coefficients $\dfrac {f^{(k)}(x_0)} {k!}$.

Borassus · 05-03-2024 12:57:22

C'est fantastique : on explique aux élèves que $\lim_{x \to 0} \dfrac {sinx} x = 1$, mais on n'explique pas que cela signifie que pour $x$ très proche de $0$, $sinx \approx x$ !

Plus généralement, on n'explique pas que lorsqu'un quotient $\dfrac {N(x)} {D(x)}$ tend vers une valeur finie $\alpha$ lorsque $x$ tend vers $x_0$, cela signifie, par simple "produit en croix", que lorsque $x$ est très proche de $x_0$, $N(x) \approx \alpha D(x)$ !!

Dernière modification par Borassus (05-03-2024 12:58:48)

Borassus · 05-03-2024 13:02:06

Borassus a écrit :

Non, je n'avais pas une autre idée en tête, sinon de montrer que la limite relève d'une indétermination de type $1 ^\infty$ (si $x > 0$).

En fait, si, j'avais quelque chose en tête, c'était d'essayer d'utiliser $\dfrac {sinx} x$, mais j'ai rapidement abandonné cette voie qui semblait infructueuse.

Borassus · 05-03-2024 13:17:35

Borassus a écrit :

Quant au niveau, j'explique les développements limités dès la Première en partant de la fameuse équation de la tangente $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ qui, en inversant l'ordre des termes, n'est rien d'autre que le développement de Taylor d'ordre 1.

J'ai vu une seule fois, cachée dans un exercice d'un manuel de Première ou de Terminale (je ne me souviens plus), la notion d'approximation de premier ordre. J'avais inscrit en marge « Enfin !!! Mais caché dans un exercice !! »
Je ne retrouve pas dans l'immédiat le manuel en question. Je vous montrerai la copie de cette page lorsque j'aurai retrouvé le manuel en question.

Black Jack · 05-03-2024 17:17:53

Bonjour,

Chacun son truc,

Le passage par la règle du Marquis n'est pas aimée de beaucoup de matheux.
Je ne suis pas matheux et donc ...

Les DL, c'est bien ... parce qu'on suppose que les résultats sont connus par les débutants ... ce qui est généralement faux.
Et si on doit les rechercher ... il faudra plus que les 4 lignes avec le génial Marquis.

Borassus · 05-03-2024 19:31:42

Bonsoir tout le monde, et bonsoir Black Jack,

Pour ma propre gouverne, j'ai voulu, pour les comprendre, refaire les calculs indiqués en les écrivant de façon plus lisible, et en les développant pas à pas. (Pour ne pas passer trop de temps à saisir les calculs en LaTeX, je les ai menés à la main sur papier.)

______________________________

Quatre lignes, quatre lignes...

Cela me rappelle les auteurs qui se permettent des joyeusetés du style « On voit à l'évidence que [...] » ou « On en déduit immédiatement que [...] » alors qu'il faut procéder à plusieurs étapes de calcul intermédiaires pour comprendre en quoi c'est "évident" ou "immédiat".

PS : Je préfère l'écriture $\dfrac 1 {\sqrt{e}}$ qui est plus signifiante que le simple $e^{-\frac 1 2}$.

Dernière modification par Borassus (05-03-2024 20:57:45)

Black Jack · 06-03-2024 11:12:26

Borassus a écrit :

Bonsoir tout le monde, et bonsoir Black Jack,
Pour ma propre gouverne, j'ai voulu, pour les comprendre, refaire les calculs indiqués en les écrivant de façon plus lisible, et en les développant pas à pas. (Pour ne pas passer trop de temps à saisir les calculs en LaTeX, je les ai menés à la main sur papier.)
https://zupimages.net/up/24/10/o8xm.jpg
______________________________
Quatre lignes, quatre lignes...
Cela me rappelle les auteurs qui se permettent des joyeusetés du style « On voit à l'évidence que [...] » ou « On en déduit immédiatement que [...] » alors qu'il faut procéder à plusieurs étapes de calcul intermédiaires pour comprendre en quoi c'est "évident" ou "immédiat".

PS : Je préfère l'écriture $\dfrac 1 {\sqrt{e}}$ qui est plus signifiante que le simple $e^{-\frac 1 2}$.

Bonjour,

Bien sûr, 4 lignes.

Pas besoin de faire un roman pour détailler ces 4 lignes qui coulent de source.

Dans le même cadre, si on veut employer des DL, il faudrait les rechercher sans aller les chercher dans sa mémoire ou sa bibliothèque ...
sans oublier de prouver qu'ils sont bien représentatifs dans le cadre de l'exercice... mais il n'est pas toujours nécessaire de le faire (si on sait ce qu'on fait).

Les 4 lignes que j'ai mentionnées sont suffisantes en elles mêmes, tout tirage en longueur est inutile et devrait même être sanctionné pour perte de temps.

Juste pour info, je viens de chercher sur le net des "calculateurs de limites" qui donnent les étapes de leur raisonnement.

Les 5 que j'ai trouvé utilisent TOUS la méthode que j'ai indiquée. (un exemple en lien)

https://zupimages.net/up/24/10/2p1e.png

Mais chacun pense ce qu'il veut.

Et je n'ai rien contre les DL, loin de là ... mais je n'ai jamais compris l'acharnement contre la règle du Marquis qui se montre souvent très efficace.

Vive le Marquis.

Glozi · 06-03-2024 21:05:11

Bonsoir,
Je ne suis pas un grand fan de la règle du Marquis (mes profs ne me l'ayant pas enseignée, je l'ai découverte "en retard" et j'avais déjà un certain recul et de la pratique sur les DL, aussi je ne l'ai jamais vraiment utilisée en exo).
Néanmoins, ce qui me dérange avec la règle du Marquis c'est que j'ai l'impression qu'on écrit sans vergogne $\lim_{x\to 0}\dots = \lim_{x\to 0}\dots=\lim_{x\to 0}\dots$, on sera bien embêté à la fin si on trouve un truc qui n'a pas de limite (du genre $\sin(1/x)$) car du coup rien de ce qu'on aura écrit n'aura de sens et en plus on ne pourra pas conclure sur la première limite... Pour moi, passer un certain moment, l'usage de l'écriture $\lim$ est à proscrire (ou alors ne jamais écrire $\lim$ sans avoir préalablement montré l'existence de la dite limite). Rédiger alors une preuve avec trois ou quatre applications de la règle du Marquis (en étant rigoureux) prend beaucoup de place, ou alors elle demande d'être "faite à l'envers" ce qui au final prend selon moi plus de temps que d'apprendre ses DL :)
Bonne soirée

Black Jack · 06-03-2024 22:03:13

Glozi a écrit :

Bonsoir,
Je ne suis pas un grand fan de la règle du Marquis (mes profs ne me l'ayant pas enseignée, je l'ai découverte "en retard" et j'avais déjà un certain recul et de la pratique sur les DL, aussi je ne l'ai jamais vraiment utilisée en exo).
Néanmoins, ce qui me dérange avec la règle du Marquis c'est que j'ai l'impression qu'on écrit sans vergogne $\lim_{x\to 0}\dots = \lim_{x\to 0}\dots=\lim_{x\to 0}\dots$, on sera bien embêté à la fin si on trouve un truc qui n'a pas de limite (du genre $\sin(1/x)$) car du coup rien de ce qu'on aura écrit n'aura de sens et en plus on ne pourra pas conclure sur la première limite... Pour moi, passer un certain moment, l'usage de l'écriture $\lim$ est à proscrire (ou alors ne jamais écrire $\lim$ sans avoir préalablement montré l'existence de la dite limite). Rédiger alors une preuve avec trois ou quatre applications de la règle du Marquis (en étant rigoureux) prend beaucoup de place, ou alors elle demande d'être "faite à l'envers" ce qui au final prend selon moi plus de temps que d'apprendre ses DL :)
Bonne soirée

Bonsoir,

On ne peut utiliser la règle du Marquis que si on ramène la limite à étudier à une indétermination du type 0/0 ou oo/oo.
Avec des précautions (pour les généralisations de la règle) détaillées ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gl … C3%B4pital

C'est la même chose pour presque toutes les applications mathématiques ... on ne peut les utiliser que dans les conditions dans lesquelles elles sont valables... et qu'il faut évidemment connaître.

Il y a effectivement des cas où on a une indétermination du type 0/0 ou oo/oo qu'on ne peut pas lever par la règle du Marquis, où des applications successives de la règle se mordent la queue, ce n'est pas très répandu, mais c'est possible.
De la même manière, il y a des cas où on se casse le nez avec les DL.
Souvent d'ailleurs (pas toujours), une limite avec indétermination du type 0/0 ou oo/oo où la marquis s'enlise, conduit aussi à une impasse avec les DL ... Qu'à cela ne tienne, il faut alors trouver une autre méthode.

Borassus · 06-03-2024 23:57:14

Bonsoir à tous, et bonsoir Black Jack,

Maintenant que je suis rentré de cours et ai dîné, je peux exposer mes réponses :

Black Jack a écrit :

Pas besoin de faire un roman pour détailler ces 4 lignes qui coulent de source.

Qui coulent de source pour une personne comprenant aisément et rapidement les étapes d'un calcul !

Comme j'écris non pas aux éminents spécialistes intervenant dans ce forum mais aux lycéens qui suivent tant bien que mal nos débats — j'espère qu'ils en tirent quand même quelques connaissances et compréhensions —, et comme je sais ô combien d'expérience à quel point ils sont loin de comprendre ce qui est censé couler de source, même sur des points d'une évidence totale, j'ai rédigé le développement des calculs comme je le fais d'habitude avec mes élèves — j'ai écrit pour eux je ne sais combien de milliers de pages manuscrites —, en décomposant soigneusement les étapes, même les plus élémentaires. (J'ai hésité pour $lne$ mais, connaissant mon public, ai préféré le garder.)

Black Jack a écrit :

tout tirage en longueur est inutile et devrait même être sanctionné pour perte de temps

A propos de la perte de temps, puis-je malicieusement faire remarquer à BJ que le temps que j'ai pris pour rédiger "mon roman" — et encore j'ai vite abandonné l'écriture laborieuse en LaTeX — a précisément pour source directe le peu de temps que ce même BJ a consacré à rendre lisibles ses expressions (avec, en prime, l'omission d'un facteur) ?..

Pour ce qui est du tirage en longueur, j'ai pu observer deux catégories d'auteurs :
ceux dont on lit confortablement les développements, en ayant l'impression d'être en permanence guidé, même dans le détail ;
et ceux, bien moins courtois, qui obligent leurs lecteurs, du moins ceux qui s'accrochent, à se battre ligne par ligne pour comprendre la façon qui les fait aboutir de telle expression à telle autre. (C'était à ce type d'auteurs — "on voit à l'évidence que" ; "on en déduit immédiatement que" — que je faisais allusion.)

Autrement dit, il y a les auteurs qui prennent le temps de permettre à leurs lecteurs d'économiser le leur ; et il y a ceux qui estiment du haut de leur « coulement de source » que leurs lecteurs ne méritent que le juste minimum syndical.
_______________

Pour en revenir à la question technique, je comprends tout à fait ton argument, Black Jack :
la règle de l'Hospital — ou plutôt, semble-t-il, de Jean Bernoulli du fait d'un arrangement financier avec son "génial marquis" d'élève — ne nécessite pas d'apprentissage particulier, notamment de formules qu'il faut mémoriser ou savoir retrouver.
Je l'ai donc testée pas plus tard que ce soir avec un élève de Terminale à qui j'ai expliqué la détermination de précisément cette limite objet de nos échanges. (Mais, au lieu de passer par le logarithme de la fonction, j'ai utilisé la structure fort utile $a^b = e^{b \cdot lna}$, ce qui permet d'aboutir directement à la limite.)

Petite note au passage : Pour lui, pourtant assez bon élève, le passage de $\frac 1 {sinx} \left[ \frac {ln(1 + x) - x} x \right]$ à $\frac {ln(1 + x) - x} {xsinx}$ ne coulait pas immédiatement de source...

Tu as cependant, me semble-t-il, raison sur ce point : la règle dite "de l'Hospital" mériterait d'être davantage enseignée, par exemple en Terminale au moment où on étudie les limites de fonctions, incluant les indéterminations de type zéro sur zéro, ou infini sur infini.
(Les exercices de détermination zéro sur zéro relèvent souvent de l'expression d'un nombre dérivé. La règle de l'Hospital peut apporter une autre façon de procéder.)

Je traiterai donc de la "règle du génial Marquis" avec mes élèves de Terminale.

Merci donc, Black Jack, d'avoir fait évoluer ma pratique pédagogique !

(Pratique que je cherche en permanence à faire évoluer !
Je déteste notamment les polycopiés transmis aux élèves par les profs, qui figent durablement ces derniers, d'année en année, dans leur train-train.
Pour ma part, j'improvise et innove sans cesse, même lorsque j'ai été prof face à une classe, ou lorsque j'anime des stages pendant les vacances scolaires.)

Dernière modification par Borassus (07-03-2024 08:21:19)

Black Jack · 07-03-2024 10:50:01

Bonjour Borassus,

Quand j'écris "tout tirage en longueur est inutile et devrait même être sanctionné pour perte de temps" ..., je pense à la vie après l'école, celle du boulot.
Là, time is money et celui qui traîne en longueur pour arriver à la solution sera sanctionné.

Je le redis, je ne suis pas contre les DL, loin s'en faut...
Mais dans les cas où la règle du Marquis permet de gagner du temps, ne pas l'utiliser est une erreur... tout comme ne pas inclure l'apprentissage de cette règle dans les études.

Dernière modification par Black Jack (07-03-2024 10:51:14)

Borassus · 07-03-2024 14:06:24

Bonjour Black Jack,

Black Jack a écrit :

Quand j'écris "tout tirage en longueur est inutile et devrait même être sanctionné pour perte de temps" ..., je pense à la vie après l'école, celle du boulot.
Là, time is money et celui qui traîne en longueur pour arriver à la solution sera sanctionné.

Excuse-moi, mais cette réponse me semble quelque peu bizarre :
Nous ne sommes ici absolument pas dans le cadre d'un quelconque boulot dans lequel il faut travailler vite pour ne pas être sanctionné, mais bien dans le cadre d'une pédagogie bénévole.

Or, s'il y a bien un domaine où la rentabilité horaire n'est pas de mise, c'est bien la pédagogie, à plus forte raison lorsqu'elle est mue par la passion. (Si je comptabilise le temps que je consacre à l'écriture de mes documents détaillés pour mes élèves, je dois tourner à deux ou trois euros de l'heure. Pas vraiment rentable comme activité !)

Black Jack a écrit :

Mais dans les cas où la règle du Marquis permet de gagner du temps, ne pas l'utiliser est une erreur... tout comme ne pas inclure l'apprentissage de cette règle dans les études.

Dès que j'ai lu l'indication de Roro, il m'a fallu de l'ordre d'une minute trente pour calculer la limite, recherche sur le Net du développement de $ln(1 + x)$ comprise, car je l'avais effectivement oubliée.
J'ai passé sensiblement plus de temps à calculer au brouillon les deux dérivées successives, car les "quatre lignes" demandent une certaine attention.

Je ne suis donc pas vraiment convaincu de l'économie de temps apportée par la "règle du Marquis".

Par contre, oui, je suis tout à fait d'accord avec toi : c'est une erreur de ne pas l'enseigner (comme je l'écrivais, dès la Terminale, voire la Première), ne serait-ce que parce qu'elle permet de s'assurer que la limite trouvée par une autre voie est bien correcte.

Black Jack · 07-03-2024 18:33:28

Borassus a écrit :

Bonjour Black Jack,
Black Jack a écrit :
Quand j'écris "tout tirage en longueur est inutile et devrait même être sanctionné pour perte de temps" ..., je pense à la vie après l'école, celle du boulot.
Là, time is money et celui qui traîne en longueur pour arriver à la solution sera sanctionné.
Excuse-moi, mais cette réponse me semble quelque peu bizarre :
Nous ne sommes ici absolument pas dans le cadre d'un quelconque boulot dans lequel il faut travailler vite pour ne pas être sanctionné, mais bien dans le cadre d'une pédagogie bénévole.
Or, s'il y a bien un domaine où la rentabilité horaire n'est pas de mise, c'est bien la pédagogie, à plus forte raison lorsqu'elle est mue par la passion. (Si je comptabilise le temps que je consacre à l'écriture de mes documents détaillés pour mes élèves, je dois tourner à deux ou trois euros de l'heure. Pas vraiment rentable comme activité !)
Black Jack a écrit :
Mais dans les cas où la règle du Marquis permet de gagner du temps, ne pas l'utiliser est une erreur... tout comme ne pas inclure l'apprentissage de cette règle dans les études.
Dès que j'ai lu l'indication de Roro, il m'a fallu de l'ordre d'une minute trente pour calculer la limite, recherche sur le Net du développement de $ln(1 + x)$ comprise, car je l'avais effectivement oubliée.
J'ai passé sensiblement plus de temps à calculer au brouillon les deux dérivées successives, car les "quatre lignes" demandent une certaine attention.
Je ne suis donc pas vraiment convaincu de l'économie de temps apportée par la "règle du Marquis".
Par contre, oui, je suis tout à fait d'accord avec toi : c'est une erreur de ne pas l'enseigner (comme je l'écrivais, dès la Terminale, voire la Première), ne serait-ce que parce qu'elle permet de s'assurer que la limite trouvée par une autre voie est bien correcte.

Bonjour,

Nous resterons donc en désaccord ... sur certains points.

"Nous ne sommes ici absolument pas dans le cadre d'un quelconque boulot dans lequel il faut travailler vite pour ne pas être sanctionné, mais bien dans le cadre d'une pédagogie bénévole."

Pour moi, dans l'enseignement, on devrait préparer au moins les étudiants à la "vraie vie", soit à leur futur boulot où le rendement est primordial ... sinon on se fait virer.

Dans le cas du présent exercice, il n'y a pas de gain de temps substantiel à utiliser l'une ou l'autre méthode, et donc peu importe.
Par contre, ne pas utiliser une méthode (celle du Marquis ou une autre) quand cela fait gagner du temps est contre productif ... et pénalisable (hors enseignement).

Si dans le cas présent, tous les sites spécialisés que j'ai consultés utilisent la méthode du Marquis, ou bien ils sont tous à coté de la plaque ou bien ... c'est que ce n'est pas idiot, sans évidemment écrire un roman inutile à chaque ligne.

On peut utiliser les DL et pareillement écrire un roman à chaque ligne pour les rechercher et justifier qu'ils sont bien représentatifs dans le cadre de l'exercice ... mais là, on trouve normal de ne pas le faire, pourquoi ? Parce que c'est évident ... Pareil avec le Marquis.

Juste pour voir:

[tex]lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt[3]{3x+3}-3}[/tex]

Classiquement on multiplie par les congugués de ... et puis ... et puis ...

Et par le Marquis :
C'est une indétermination du type 0/0 ---> Règle du Marquis :
[tex] = lim_{x\to 8} \frac{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{(3x+3)^{-\frac{2}{3}}} = \frac{3}{4}[/tex]

Dernière modification par Black Jack (07-03-2024 18:34:15)

Glozi · 07-03-2024 20:41:23

Bonsoir,
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "justifier qu'ils sont bien représentatifs" en parlant des DL ? (ça fait plusieurs fois que tu l'écris et je n'ai toujours pas compris).

Sinon, voyons une solution avec des DL, en écrivant $x=8+h$
$\frac{(8+h)^{1/3}-2}{(3(8+h)+3)^{1/3}-3}=\frac{2(1+h/8)^{1/3}-2}{3(1+\frac{h}{9})^{1/3}-3}= \frac{2+\frac{h}{12}+o(h)-2}{3+\frac{h}{9}+o(h)-3}=\frac{9}{12}+o(1)=\frac{3}{4}+o(1)$
Donc la limite existe et vaut $3/4$.

A mon tour :)
Trouver la limite (si elle existe) de
$\frac{\ln(1+x^{100})}{(1-\cos(x))^{50}}$
lorsque $x\to 0$ (c'est une forme indéterminée de la forme $0/0$).
(bonne chance avec le marquis !)

Black Jack · 07-03-2024 23:15:02

Glozi a écrit :

Bonsoir,
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "justifier qu'ils sont bien représentatifs" en parlant des DL ? (ça fait plusieurs fois que tu l'écris et je n'ai toujours pas compris).
Sinon, voyons une solution avec des DL, en écrivant $x=8+h$
$\frac{(8+h)^{1/3}-2}{(3(8+h)+3)^{1/3}-3}=\frac{2(1+h/8)^{1/3}-2}{3(1+\frac{h}{9})^{1/3}-3}= \frac{2+\frac{h}{12}+o(h)-2}{3+\frac{h}{9}+o(h)-3}=\frac{9}{12}+o(1)=\frac{3}{4}+o(1)$
Donc la limite existe et vaut $3/4$.
A mon tour :)
Trouver la limite (si elle existe) de
$\frac{\ln(1+x^{100})}{(1-\cos(x))^{50}}$
lorsque $x\to 0$ (c'est une forme indéterminée de la forme $0/0$).
(bonne chance avec le marquis !)

Bonsoir,

"Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "justifier qu'ils sont bien représentatifs" en parlant des DL ? (ça fait plusieurs fois que tu l'écris et je n'ai toujours pas compris)."

Par exemple, j'ai vu il y a quelques temps un étudiant qui utilisait un DL pour ln(1+x) ... avec (x - x²/2) ... Sauf que c'était utilisé dans une limite pour x --> 2 (et ne pense pas que de tels cas sont rarissimes, celui qui ne sait pas utiliser correctement (si enseigné évidemment) la règle du Marquis n'est pas non plus capable d'utiliser les DL sans se tromper (comme dans l'exemple grossier que je viens de donner).

La limite (réponse 3/4) est bien, celle avec le Marquis est cependant plus simple et plus directe.

Comme quoi, on peut TOUJOURS trouver des exercices où les DL sont plus performants et d'autres où le Marquis est plus performant (en rapidité).

Je n'ai jamais prétendu le contraire.

Je pense qu'on ne devrait pas ignorer une règle sur de mauvais prétextes.
La règle de Lhospital (ou Lhopital ou ...) est un outil souvent performant et l'ignorer parce que il est possible de "faire autrement" est une très mauvaise idée.

Black Jack · 07-03-2024 23:48:50

Glozi a écrit :

Bonsoir,
A mon tour :)
Trouver la limite (si elle existe) de
$\frac{\ln(1+x^{100})}{(1-\cos(x))^{50}}$
lorsque $x\to 0$ (c'est une forme indéterminée de la forme $0/0$).
(bonne chance avec le marquis !)

Voila comment je ferais (mais je n'ai rien d'un matheux) , mix du Marquis et DL

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x^{100})}{(1-\cos(x))^{50}}$ indéter du type 0/0 --> Règle du Marquis.

$=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{100x^{99}}{1+x^{100}}}{50(1-cos(x))^{49} * sin(x)}$

Et DL ...

$= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{100x^{99}}{1+x^{100}}}{50(\frac{x^2}{2})^{49} * x}= \lim_{x\to 0} \frac{100x^{99} * 2^{49}}{(1 + x^{100})*50 * (x^{99})} = 2^{50}$

Glozi · 08-03-2024 00:07:17

Par curiosité, connais tu un exemple ou la règle du Marquis est bien plus rapide que toute autre méthode ?
Par exemple, dans l'autre sens, la dernière limite que j'ai proposée se fait en deux égalités avec des DL mais avec la seule règle du marquis elle nécessite une centaine d'applications de cette règle... Dans tous les exemples auxquels je pense, la règle du Marquis permet au plus de gagner 1 ou 2 égalités (en n'ayant pas la certitude qu'on va pouvoir conclure je le rappelle !)

Bref, on ne tombera sûrement pas d'accord.

Dans un monde ou ne peut apprendre que la règle du Marquis ou que les DL, je choisirais sans hésiter la deuxième option. Dans un monde ou je dois faire un concours de rapidité pour calculer des limites j'apprendrais à utiliser les deux méthodes (et certainement d'autres encore plus performantes sur des cas très particuliers).

Autre point que je soulève : apprendre à utiliser ses DL c'est aussi apprendre que quand il y a une forme indéterminée c'est qu'il y a un "combat" entre deux quantités, cela demande donc de comprendre qu'est ce qui dans l'expression est significatif et qu'est ce qui est négligeable, cette compétence à analyser une formule ne peut je pense qu'être utile pour une personne qui voudra faire des maths appliquées, de la modélisation, de la physique, de la biologie etc...
En appliquant la règle du marquis, je perds complètement cette intuition (peut-être faute de pratique ?)
Je ne sais pas a priori combien de fois je vais devoir appliquer la règle avant de conclure et je ne sais pas si ça va aboutir ou si je vais tomber sur un truc qui n'a pas de limite avant d'avoir essayer...

Sur ce, je vais me coucher, bonne nuit !

Roro · 08-03-2024 00:10:43

Bonsoir,

Vous vous amusez bien à vous chamailler pour cette histoire (et ce n'est pas la première fois). Comme je le disais au début, la fameuse règle de l'Hospital n'est rien d'autre qu'un cas particulier de l'usage des DL. C'est quand même une des premières applications pratiques des DL, et c'est beaucoup enseigné :

Pour déterminer la limite d'un quotient (indéterminé 0/0 par exemple) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}$ une des choses qu'on apprend est de trouver un équivalent de $f$ et un équivalent de $g$. La plupart du temps à l'aide des DL, et du premier terme non nul de celui-ci, c'est très facile.

Dans les cas les plus simples (f'(0) et g'(0) non nuls), on a alors $f(x)\approx f'(0)x$ et $g(x)\approx g'(0)x$ et on retrouve bien entendu
$$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

On peut apprendre cette règle de l'Hospital si on le souhaite mais de mon point de vue, il vaut mieux comprendre directement que, lorsqu'on a une forme indéterminée 0/0, le plus important est de comprendre comment $f$ et $g$ se rapprochent de $0$... et pour cela le bon outil est la notion d'équivalent...

Roro.

P.S. L'argument de dire qu'on n'est pas un matheux est facile mais pas vraiment honnête. Que signifie "matheux" ?
Il y aurait des maths pour ceux qui savent et des maths pour les autres. Ces autres qui ont l'air de même mieux savoir certaines choses que les matheux ne voudraient pas voir ?
Black Jack se fait une idée bien curieuse de ces termes : "matheux" et "maths".
Pour ma part, je ne pense pas que les maths sont réservés à une certaine classe, au contraire plus on est de fous plus on rit !

P.P.S. Encore écrit en même temps que Glozi (et encore avec les mêmes idées...) à croire qu'on fait exprès ! Bonne nuit également.

Dernière modification par Roro (08-03-2024 00:13:15)

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