Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

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Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8

Bonjour chers amis lycéens !

Voici pour agréablement commencer la semaine un joli petit exercice d'arithmétique que j'ai trouvé dans un manuel russe d'algèbre destiné aux élèves de la classe correspondant à notre Première.
(Je suis bilingue français-russe de langue maternelle russe et ai demandé à une amie de me ramener de Russie des manuels de maths correspondant aux classes de fin d'études secondaires.)

« Démontrer que pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^5 - 5n^3 + 4n$ est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 6 et par 8. »

Dans l'attente du plaisir de lire vos propositions de résolution,
bien cordialement,
Borassus

PS : Les éminents mathématiciens de ce site de très haute tenue sont priés de laisser nos amis lycéens proposer leurs solutions.  :-)

PPSS : Je crois que vous me verrez souvent vous faire part d'exercices piochés dans ce manuel...  :-)

Dernière modification par Borassus (04-03-2024 16:25:48)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Borassus

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Re : Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8

Petite indication toutefois : parmi n entiers consécutifs, un seul est divisible par n.

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
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bobbycat

Invité

Re : Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8

pourquoi poser la question aux étudiants de premières alors que ça n'est pas au programme? J'ai ma petite idée mais elle est politique. Avec les congruences et une étude de cas ça se fait en 2 coup de cuillères à pot.

Borassus

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Re : Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8

Bonjour bobbycat

Puis-je, pour commencer, te rappeler qu'un premier message commence par "Bonjour" ou "Bonsoir", suivant l'heure à laquelle est rédigé le message, et peut même être personnalisé, comme l'est celui-ci ?

Ceci dit, merci de t'être prêté au jeu que j'ai proposé.

Ah, le sacro-saint programme !!
Pourtant, la règle de divisibilité que je mentionne est au programme de Première en Russie (même s'il s'agit, selon le comptage des classes russe, plus logique que le comptage français, de la 10ème classe, la dernière classe de l'enseignement secondaire étant la 11ème.)

Fichtre : Une idée politique ? Dis-moi, je suis impatient de connaître cette idée ! :-)

Les congruences sont quant à elles encore moins au programme de Première puisqu'elles sont vues maintenant en Terminale Maths expertes.

Il y a cependant plus simple, et moins "spécialisé" : à partir de l'indication fournie, et avec un peu d'observation, l'exercice se résout facilement pour peu qu'on maîtrise un tant soit peu les techniques de factorisation...

A bientôt ?  :-)

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Black Jack

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Re : Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8

Bonjour,

n^5 - 5n³ + 4n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

Soit le produit de 5 entiers consécutifs et donc ...

Roro

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Re : Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8

Bonsoir,

Pourquoi donner la réponse directement ???
Borassus avait volontairement posé la question dans la rubrique d'entraide (collège/lycée), on peut lui laisser donner des indications pour que les lycéens essayent !
Il n'y a pas de doute que la plupart des intervenants réguliers avaient immédiatement la solution mais c'est peut être parce que lorsqu'ils étaient plus jeunes, ils ont cherché par eux-même un bon moment et ont donc mis en place des "réflexes" et des "stratégies"...
On passe assez de temps à se plaindre que les jeunes ne savent plus réfléchir. Si on leur mâche le travail, on ne pourra s'en prendre qu'à nous.

Roro.

P.S. C'est la même chose avec le post sur "limite énigme" où une solution a été donnée par Black Jack sans que l'auteur de la question ne dise ce qu'il avait essayé...

Dernière modification par Roro (06-03-2024 19:41:34)

Borassus

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Re : Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8

Bonsoir, ou bonjour,

Merci, Roro, de préciser que j'ai effectivement voulu proposer cet exercice à nos amis lycéens.
(J'ai écrit d'ailleurs explicitement en tout début de message que je m'adresse à eux. Et j'ai explicitement prié les éminents mathématiciens de ce site de très haute tenue de laisser nos amis lycéens proposer leurs solutions.)

J'aimerais en effet que les collégiens et lycéens s'adressent à nous, pas seulement pour appeler au secours à propos de tel exercice ou de tel DM, mais aussi pour se prêter au jeu que nous pouvons occasionnellement leur proposer, en comprenant ce que nous pouvons leur apporter.
(Ne restez pas dans l'utilitaire immédiat de la résolution de telle ou telle question ! C'est précisément par les "à-côtés" que vous tirerez le meilleur enseignement et la meilleure compréhension de fond des notions que vous voyez en classe !)

Dans l'indication que j'ai fournie cet après-midi, j'ai voulu inciter à observer l'expression afin de comprendre, notamment, que le second degré ne s'écrit pas toujours avec des termes en $x^2$ et en $x$.

sans que l'auteur de la question ne dise ce qu'il avait essayé

A ce propos, j'ai remarqué que souvent les auteurs des questions disparaissent alors que leur question a entraîné tout une série d'échanges...

Dernière modification par Borassus (07-03-2024 00:18:48)

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