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#1 04-03-2024 23:16:30
- rbnplt
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Question de topologie et applications
Bonsoir,
Je bloque sur un exercice d'analyse dont voici l'énoncé :
Soit $ E = \{(x, y) : 0 ≤ x < y < 2\} \cup \{(3, 3)\} $. Existe-t-il une fonction continue $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ telle que $g^{-1}(E) = \mathbb{R}$ ?
J'ai essayé de décomposer E en une intersection de différentes parties ouvertes et fermées, et non plus un mélange des deux, puis d'appliquer la propriété selon laquelle l'image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une application continue est un ouvert (resp. fermé), mais je n'arrive pas à tirer de conclusion... J'ai aussi imaginé que ${(3, 3)}$ étant un singleton, il pouvait exister une application $g$ qui à partir d'un certain rang associait toutes ses valeurs à ce singleton, couvrant ainsi tout $\mathbb{R}$.
Pensez-vous que je sois dans la bonne direction, et avez-vous des pistes à me donner ?
Je vous remercie par avance pour vos réponses ;)
Dernière modification par rbnplt (04-03-2024 23:18:56)
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#2 04-03-2024 23:38:39
- rbnplt
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Re : Question de topologie et applications
D'ailleurs est-ce qu'un singleton est ouvert ou fermé ?
En cours on a considéré qu'un singleton était toujours fermé, ce qui contredit la proposition selon laquelle l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé, non ? (dans le cas d'une application $g$ qui à tout $x$ réel associe le singleton en question)
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