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Yosar68

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Transformation conforme du laplacien

Bonjour, je travaille sur la géométrie riemanienne. Dans mon cours, le Laplacien est défini sur (M,g) var riemm par :

$\Delta_gF=\sum\limits_ig(\nabla_{e_i}\operatorname{grad}_g F,e_i)$

où $(e_i)$ est une base orthonormée, et $\nabla$ la connexion de Levi-Civita de $g$.

Je considère une transformation conforme de $g$ : $g'=e^{2f}g$
où $f:M\mapsto\mathbb{R}$ est une application lisse.

Pour une fonction $F:M\mapsto\mathbb{R}$, j'ai déjà calculé son gradient selon $g'$ : $\operatorname{grad}_{g'}F=e^{-2f}\operatorname{grad}_gF$. Je cherche ensuite à démontrer la formule suivant :

$\Delta_{g'}F=e^{-2f}\Delta_gF+(n-2)e^{-2f}\sum\limits_{i,j}g_{ij}\partial_if\partial_jF$ (sous réserve que ce soit bien la bonne formule)

Je précise que je n'ai pas la formule du laplacien en coordonnée locale, et que je souhaite trouver la formule sans faire le calcul de la connexion de g' en fonction de celle de g. Mon idée de départ était d'utilisé la formule de Koszul pour faire disparaitre la connexion $\nabla$ de $g'$ dans la définition de $\Delta_{g'}$ mais les calculs n'aboutissent pas. En particulier, je ne vois pas comment je vais pouvoir, de la formule avec la base $(e_i)$ faire des calculs pour trouver la base $(\partial_i)$ dans la formule.

Pouvez vous m'aider ?

Yosar68

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Re : Transformation conforme du laplacien

Hola, j'ai réduit la question au cas de la divergence. En gros, il me faut prouver que si $g_1=e^{2f}g$ alors :

$\operatorname{div}_1(X)=\operatorname{div}(X) + nX(f)$

Et j'aimerai le démontrer à partir de la formule $\operatorname{div}(X)=\sum\limits_i g_1(\nabla^1_{e_i}X,e_i)$

où $\nabla^1$ est la connexion de Levi-Civita associé à $g_1$, $(e_i)_i$ est une base ortho (local) pour $g_1$. Je pense qu'il est clair
qu'il va falloir se ramener à la base $g$-ortho $(e^fe_i)_i$.

Cependant je n'arrive pas a le prouver de cette manière. N'hésitez pas si vous avez une idée. Merci d'avance