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#1 21-02-2024 01:07:33
- ArthurPrime
- Invité
Convexité
Bonsoir à tous,
Je ne comprends pas très bien le passage de (1) à (2) notamment sur les propriétés de la composition ou la subtilité de l'énoncé.
En effet, on a comme hypothèse que f est convexe et g croissante et il faut montrer g o f est convexe.
(1)
[tex]g \circ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq g(\lambda f(x) + (1-\lambda)f(y))
[/tex]
(2)
[tex] g \circ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda (g \circ f)(x) + (1-\lambda)(g \circ f)(y)
[/tex]
Cdt
#3 21-02-2024 08:13:37
- ArthurPrime
- Invité
Re : Convexité
Oui oui effectivement en relisant le message ce matin, mais du coup comment passe-t-on de (1) à (2) ?
#4 21-02-2024 08:53:32
- IMA2010
- Invité
Re : Convexité
Soit le plan affine R^2 muni du repère cartésien {O(0,0) ; A_1 (1,0) et A_2 (0,1)} d’axe des abscisses réelles [O,x) et d’axe des ordonnées réelles [O,y).
Soit deux points distincts de ce plan M_1(x_1,ϕ(x_1)) et M_2(x_2,ϕ(x_2)) de ce plan qui sont situés sur la courbe représentative de ϕ avec x_1 et x_2 variant dans I tels que x_1<x_2.
Formons le segment joignant ces deux points M_1 et M_2. Désignons par (M_1 M_2) cette sécante.
Soit un point P(a,b) de ce plan appartenant à (M_1 M_2) tel que P est distinct de M_1 et de M_2.
Ces considérations nous conduisent à considérer l’inégalité stricte x_1<a<x_2 et celles qui en découlent :
Soit un point M(a, ϕ(a)) de ce plan appartenant à la courbe représentative de la fonction ϕ tel que M est distinct de M_1 et de M_2.
Evaluons la position des points M et P tels que M est distinct de P avec a variant entre x_1 et x_2.
La situation pour laquelle M se situe toujours en-dessous de P, se traduit par l’inéquation stricte ϕ(a)<b, c’est-à-dire ▭(ϕ(λ×x_1+(1-λ)×x_2 )<λ×ϕ(x_1 )+(1-λ)×ϕ(x_2 ) ).
En d’autres termes, la courbe représentative de ϕ est toujours en-dessous de l’une quelconque de ses sécantes entre ses deux extrémités M_1 et M_2 sur I. La fonction ϕ est dite strictement convexe sur I.
La situation pour laquelle M se situe toujours au-dessus de P, se traduit par l’inéquation stricte ϕ(a)>b, c’est-à-dire ▭(ϕ(λ×x_1+(1-λ)×x_2 )>λ×ϕ(x_1 )+(1-λ)×ϕ(x_2 ) ).
En d’autres termes, la courbe représentative de ϕ est toujours au-dessus de l’une quelconque de ses sécantes entre ses deux extrémités M_1 et M_2 sur I. La fonction ϕ est dite strictement concave sur I.
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