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ArthurPrime

Invité

Limites

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n}{n} = +\infty ???
[/tex]

Bonsoir, quelqu'un pourrait-il décomposer cette limite car je ne comprends pas en passant à l'exponentielle et en appliquant "les bases", id est les croissances comparées, je trouve 0.

Bonne soirée,
Cdt

Dernière modification par ArthurPrime (18-02-2024 23:29:58)

Zebulor

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Re : Limites

Bonjour,
tu peux écrire le numérateur sous forme d exponentielle. De fait il tend beaucoup plus vite vers l'infini que $n$ lorsque ce dernier tend vers l'infini.

Fred

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Re : Limites

Bonjour

  As-tu bien fait un développement limité du numérateur???

F.

ArthurPrime

Invité

Re : Limites

Bonsoir, on n'a pas encore vu les DL, j'ai demandé, on garde ça pour la fin de l'année donc je sais pas si ça aurait pu aider ou quoi et de même avec les équivalences et prédominances qu'on verra en même temps que les DL mais après je pense qu'il y avait moyen de faire par passage à l'exponentielle. [tex]\frac{ e^{n \ln(\sqrt{n}+1) - n \ln(\sqrt{n})} }{n}
[/tex]

Je suis bloqué à ça car si on gère par équivalent en +inf, les termes de l'exp se compensent en fait...

Voilà je ne comprends pas, merci encore de prendre le temps d'aider.
Cdt

Michel Coste

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Re : Limites

Bonjour,
Tu parles d'équivalent. Tu connais peut-être un équivalent simple de $\ln(1+x)$ quand $x$ tend vers 0 ? Sinon, tu peux penser à $\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-\ln(1)}{(1+x)-1}$.

Zebulor

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Re : Limites

Bonjour,
et dans la suite de l'idée de Michel, factoriser par $n$ l'expression [tex]n \ln(\sqrt{n}+1) - n \ln(\sqrt{n})[/tex], simplifier l'écriture de la différence des logarithmes..

Michel Coste

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Re : Limites

En revenant à l'énoncé, on part tout simplement de $n\ln\left(1+\dfrac1{\sqrt{n}}\right)$.

Zebulor

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Re : Limites

re,
tout simplement en effet

ArthurPrime

Invité

Re : Limites

On a pas encore vu les équivalents et prédominances, peut-être que nous avons pas tous les outils à notre disposition pour le résoudre mais pour moi en +inf, les termes se compensent donc je ne comprends pas désolé...

Zebulor

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Re : Limites

Re,
Est ce que tu vois ce que vaut ceci : $\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-\ln(1)}{(1+x)-1}$

Petit indice : tu connais la limite de  $\dfrac {1}{\sqrt{n}}$ quand $n$ tend vers l'infini...

ArthurPrime

Invité

Re : Limites

Re zebulor,
pour le coup c'est un taux d'accroissement qui peut se vérifier par l'hôpital, qui tend vers 1? mais je ne comprends pas le petit indice du coup? et le lien avec la limite...
Cdt

Michel Coste

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Re : Limites

Si $\lim_{x\to 0} f(x)==1$, que vaut $\lim_{n\to\infty} f\left(\dfrac1{\sqrt n}\right)$ ?

Zebulor

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Re : Limites

Re ArthurPrime,
la réponse à ton dernier post se trouve dans le dernier post de Michel qui maîtrise l'art de la synthèse... Ca fait penser à un changement de variable.

Dernière modification par Zebulor (20-02-2024 19:14:11)

ArthurPrime

Invité

Re : Limites

Oui donc la limite de f(1/racine de n) vaut 1 et on fait un changement de variable donc en gros pour résumer, le numérateur tend vers +inf plus rapidement que le dénominateur puisque en réalité ln(1+1/racine de n) tend vers 1 et en multipliant par n et puis croissances comparées?

On obtient du exp(n)/n et du classique qui diverge? C'est çaa?

Merci beaucoup !!

Michel Coste

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Re : Limites

"en réalité ln(1+1/racine de n) tend vers 1"
Non ! Fais plus attention.

Zebulor

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Re : Limites

Bonsoir,

ln(1+1/racine de n) tend vers 1

non c'est $\frac {ln(1+\frac {1}{\sqrt{n}})} {\frac {1}{\sqrt{n}}}$ qui tend vers 1 quand $n$ te,d vers l'infini

ArthurPrime

Invité

Re : Limites

Rebonsoir,
Effectivement j'ai manqué de rigueur en voulant écrire un peu vite autant pour moi sinon effectivement on ne fait pas apparaître un taux d'accroissement, vous avez raison.

Cdt