Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ArthurPrime

Invité

Symétries

Rebonsoir !!

On considère l'endomorphisme \(s : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) défini par \(s(x, y, z) = (-x - 4y - 2z, 4x + 9y + 4z, -8x - 16y - 7z)\).

Déterminer \(F = \ker(s - \text{Id})\) et \(G = \ker(s + \text{Id})\) et une base de chacun de ces deux sous-espaces.

On a \((x, y, z) \in F\) si et seulement si \(\begin{cases} -x - 4y - 2z = x \\ 4x + 9y + 4z = y \\ -8x - 16y - 7z = z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + 2y + z = 0 \end{cases}\).

Ainsi, on a \(F = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \text{ tel que } x + 2y + z = 0 \right\} = \text{vect}((-2, 1, 0), (-1, 0, 1))\).

De même, on a \((x, y, z) \in G\) si et seulement si \(\begin{cases} -x - 4y - 2z = -x \\ 4x + 9y + 4z = -y \\ -8x - 16y - 7z = -z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2y + z = 0 \\ 2x + 5y + 2z = 0 \\ 4x + 8y + 3z = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z + 2y = 0 \\ y + 2x = 0 \end{cases}\).

Ainsi, \(G = \left\{(x, -2x, 4x) \text{ avec } x \in \mathbb{R}\right\} = \text{vect}((1, -2, 4))\).

--> Je me demande si on ne pouvait pas faire autrement en disant que \(F = \ker(s - \text{Id})\)={ (x, y, z) de {R}^3  s(x, y, z) - (x, y, z)=(0,0,0)} et faire apparaître un Vect après puisqu'on a une expression de s, la symétrie et trouver une base parce que je ne vois pas en quoi ce serait faux de procéder comme ça et je ne trouve pas pareil que la correction de BibMaths... d'où ma question ici.

PS : Je trouve Vect(1,-2,4) pour F et non pour G ahahah.
"Même problème pour G au passage"

Bonne soirée,
Cdt

Dernière modification par ArthurPrime (19-02-2024 21:37:30)

Fred

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Re : Symétries

Bonjour,

  Je ne comprends pas en quoi ce serait une autre méthode : résoudre $s(x,y,z)=(x,y,z)$ comme c'est fait dans le corrigé, ou résoudre $s(x,y,z)-(x,y,z)=(0,0,0)$, c'est la même chose, non?

F.

ArthurPrime

Invité

Re : Symétries

Bonjour Fred, j'ose espérer que c'est la même chose mais comprenez vous je trouve un vect qui a littéralement 1 dimension alors que 2 trouvées dans la correction BibMaths, j'ai certainement fait une erreur sur la résolution mais ça me paraît bizarre un tel décalage???

Cdt,
A

Michel Coste

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Re : Symétries

Qu'est-ce que tu racontes ? Le PS de ton premier message et ton deuxième message sont incompréhensibles. Pas contre le calcul au début de ton premier message est correct, avec un $F$ de dimension 2 et un $G$ de dimension 1.

ArthurPrime

Invité

Re : Symétries

Donc on pouvait faire comme en faisant s-Id=0 au lieu de faire un système et tomber sur le même résultat, telle est ma question...

Michel Coste

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Re : Symétries

Fred a déjà répondu. Mais que veut dire ton message de 16:59:07 ???

ArthurPrime

Invité

Re : Symétries

Au lieu de trouver un vect de 2 dimensions pour F, je trouve 1 vect d'une seule dimension d'où ma surprise, donc il doit y avoir un pb de résolution dans mon calcul car j'ai fait s-Id=0 et j'ai résolu, bizarre bizarre. En fait l'erreur que j'ai faite me paraît trop grossière par rapport aux erreurs habituelles de l'ordre du signe ou de l'ordre d'un coeff multiplicateur, c'est tout.

Fred

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Re : Symétries

C'est clair que tu as fait une erreur dans la résolution de $s(x,y,z)-(x,y,z)=0.$ Tu peux d'ailleurs vérifier que le vecteur $(1,-2,4)$ n'est pas dans F.
A part cela, je ne comprends pas ta phrase : "Donc on pouvait faire comme en faisant s-Id=0 au lieu de faire un système et tomber sur le même résultat, telle est ma question...".
D'abord, faire s-Id=0 n'a pas de sens, tu cherches les vecteurs dans le noyau de s-Id, ou tu résous s(x,y,z)-(x,y,z)=(0,0,0).
Ensuite, en faisant cela, tu dois bien résoudre un système, le même que celui qui est dans la correction de l'exercice!

M'enfin!

F.

ArthurPrime

Invité

Re : Symétries

Je vais vérifier mais merci beaucoup pour vos explications, je vais refaire l'exo dans tous les cas mais merci beaucoup. C'est vrai qu'effectivement je sous entendais faire s(x,y,z)-(x,y,z)=(0,0,0) quand je disais s-Id=0
Oui je vois.