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Deyd

Invité

Développement limité

Bonjour si quelqu'un peut au moins me donner la formule pour y arriver.
Soient f et g deux fonctions continues et dérivables 3 fois de développements limités
avec f(x)=-8-6(x-3)-6(x-3)^2+7(x-3)^3+o((x-3)^3) et f(g(x))=-8+18(x-3)-72(x-3)^2-33(x-3)^3+o((x-3)^3).
Calculer le DL au voisinage de -3 et d'ordre 3 de g(x) sachant que f est injective.

Il me faudrait aussi de quoi arriver a faire f^-1(x), en ayant f(x).

Merci par avance.

Michel Coste

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Re : Développement limité

Bonjour,
Tu t'es sûrement trompé en recopiant ton énoncé (ou il y a une erreur dedans).
Si tu as des $x-3$ dans tes d.l., il s'agit de d.l. au voisinage de 3 et pas de $-3$.

Deyd

Invité

Re : Développement limité

Oui c’est fortement possible, est ce que vous avez la solution pour m’aider ?

Deyd

Invité

Re : Développement limité

CORRECTION :
Bonjour si quelqu'un peut au moins me donner la formule pour y arriver.
Soient f et g deux fonctions continues et dérivables 3 fois de développements limités
avec f(x)=-8-6(x-3)-6(x-3)^2+7(x-3)^3+o((x-3)^3) et f(g(x))=-8+18(x+3)-72(x+3)^2-33(x+3)^3+o((x+3)^3).
Calculer le DL au voisinage de -3 et d'ordre 3 de g(x) sachant que f est injective.
Il me faudrait aussi de quoi arriver a faire f^-1(x), en ayant f(x).
Merci par avance.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Développement limité

Pour que ça ait un sens, il faut déjà que $g(3)=3$. Tu vois pourquoi ?
Ensuite tu écris le d.l. de $g$ en 3 avec des coefficients indéterminés :
$$g(x)=3+a(x-3)+b(x-3)^2+c(x-3)^3+ o(x-3)^3\;,$$tu calcules avec ça le d.l. de $f(g(x))$ et tu identifies avec ce qui t'est donné pour déterminer $a,b,c$.

PS. Tu as modifié ton énoncé. Alors je modifie ma réponse :

Pour que ça ait un sens, il faut déjà que $g(-3)=3$. Tu vois pourquoi ?
Ensuite tu écris le d.l. de $g$ en $-3$ avec des coefficients indéterminés :
$$g(x)=3+a(x+3)+b(x+3)^2+c(x+3)^3+ o(x+3)^3\;,$$tu calcules avec ça le d.l. de $f(g(x))$ en $-3$ à l'ordre 3 et tu identifies avec ce qui t'est donné pour déterminer $a,b,c$.

Dernière modification par Michel Coste (19-02-2024 17:19:20)

Deyd

Invité

Re : Développement limité

Je ne vois pas comment trouver les coefficients

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Développement limité

Je l'ai déjà écrit, je le répète :

Ensuite tu écris le d.l. de $g$ en $-3$ avec des coefficients indéterminés :
$$g(x)=3+a(x+3)+b(x+3)^2+c(x+3)^3+ o(x+3)^3\;,$$tu calcules avec ça le d.l. de $f(g(x))$ en $-3$ à l'ordre 3 et tu identifies avec ce qui t'est donné pour déterminer $a,b,c$.