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Arcadia

Invité

Devoloppement Limité

Bien le bonjour à vous toutes et tous,

J'ai besoin qu'on m'aide.

Voici un exercice :

Taylor: Fraction linéaire
Soit une f fonction continue et dérivable 3 fois de développement limité
f(x)=5-9(x+1)+(x+1)^2+9(x+1)^3+ o((x+1)^3)
Calculez le developpement limité au voisinage de -1 et à l'ordre 3 de la fonction h définie par h(x)=2f(x)+8/3f(x)+1.

La réponse est : h(x)=9/8+99/128(x+1)+2497/2048(x+1)^2+37323/32768(x+1)^3

Je commence seulement le cours, donc je ne comprends pas encore.
C'est pourquoi je voudrais connaître les étapes de résolution, la formule utilisé.

Et son calcul dans sa totalité qui permet d'arriver à cette réponse. J'ai seulement la réponse et non le developpement ce qui m'empêche de comprendre.

Je vous remercie d'avance pour votre possible aide.

Passez une excellente semaine.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Devoloppement Limité

Bonjour,
Tu as oublié de parenthéser ton expression, ce qui fait qu'on lit $h(x) = 2f(x)+\dfrac83 f(x)+ 1$. On devine que ce n'est pas ça. Peux-tu écrire correctement $h(x)$ ?

Arcadia

Invité

Re : Devoloppement Limité

Je tiens à m'excuser pour mon erreur ! J'ai effectivement mal retranscrit h(x).

Je reprends : h(x)= (2f(x)+8) / (3f(x)+1)

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Devoloppement Limité

C'est bien mieux comme ça. On te donne dans l'énoncé le d.l. de $f(x)$ en $-1$ à l'ordre 3, et tu as donc sans peine les d.l. du numérateur et du dénominateur de la fraction.
On est typiquement dans la situation où il est commode d'utiliser la division suivant le puissances croissantes. Ton cours mentionne-t-il cette technique ?

Arcadia

Invité

Re : Devoloppement Limité

Non, je n'ai pas mention de cette technique ! Mais si celle-ci peut me permettre d'arriver à cette résolution, je voudrais bien la connaître.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Devoloppement Limité

Mieux vaut pour toi maîtriser ce qui figure dans ton cours. Il y a sûrement la façon de calculer le d.l. de $1/g(x)$ en $a$ quand on a le d.l. de $g(x)$ et que $g(a)\neq 0$.
Ici on peut commencer par remarquer que
$$ \frac{2f(x)+8}{3f(x)+1}= c+\frac{d}{3f(x)+1}\;,$$
où je te laisse déterminer $c$ et $d$.

Arcadia

Invité

Re : Devoloppement Limité

Je vous remercie infiniment pous vos indications, et pour le temps consacré à répondre à mes interrogations quant à mon cours de développement limité.

Je vous souhaite donc une excellente fin de soirée et une excellente semaine.

Encore merci.

Arcadia