Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mhuur

Invité

Etude de cas : rinçage en cascade

Bonjour,

Je travaille dans le secteur du traitement des effluents industriels. Certaines industries utilisent des structures de rinçages en cascade pour rincer leurs pièces. La cascade est alimentée à un débit Q (constant), et s'écoule de cuve en cuve jusqu'à un exutoire. La pièce à rincer passe elle de cuve de rinçage en cuve de rinçage, en entrainant avec elle un volume q (constant) depuis la cuve précédente.

Je souhaite déterminer l'expression de Cn de Cn-1.

Pour cela, j'ai effectué divers bilan massiques :

Je trouve donc une expression de Cn en fonction de Cn+1 et Cn-1 (ce qui est logique puisque Cn est composé d'une part de l'effluent entrainé depuis la cuve précédente, et de l'effluent en surverse depuis la cuve suivante).

Je trouve également l'expression de la dernière cuve, en fonction de C_B, concentration de l'eau d'alimentation. On pourrait considérer de l'eau déminéralisée, et alors CB = 0, mais j'ai fait le choix de conserver ce terme.

En composant avec ces deux expressions, je trouve l'expression de la cuve Cn en fonction de la cuve Cn-1. 

Alors j'ai pensé avoir réglé la question. J'ai donc étendu cette expression à l'ensemble des cuves, en partant de la cuve 1 :

Or, on remarque que le massique total n'est pas cohérent, puisque C_A*q = 500 entrent, alors que seulement 455 ressortent.

Sauriez-vous m'éclairer ?

Merci

Mhuur

Invité

Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Désolé, les images ne s'affichent pas, voici les liens dans l'ordre

https://ibb.co/jRHTNTS

https://ibb.co/4fCm99z

https://ibb.co/3ygwZZt

https://ibb.co/QCcP1k6

Mhuurr

Invité

Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Bonjour,

Je vois que ma question trouve peu d'attention. Peut-être ai-je mal énnoncé le problème ? N'y a-t-il personne pour m'éclairer ?

Merci par avance,

jelobreuil

Membre

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Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Bonjour,
Je crois, en effet, que l'énoncé que tu donnes n'est pas assez explicite pour les membres de ce forum, qui sont en principe des matheux, plus habitués à traiter des problèmes théoriques que des problèmes concrets comme le tien ! Mais il se trouve que je suis ingénieur chimiste de formation, et que les histoires de bilan massique dans une opération de génie chimique (puisque c'est bien de cela qu'il s'agit, un rinçage en cascade à contre-courant, d'après ton schéma), cela évoque en moi de lointains souvenirs que je vais essayer de mobiliser ... En outre, comme il faut regarder la quatrième pièce jointe pour comprendre que tes Cn sont en fait des concentrations (de quoi ? d'impuretés à éliminer des pièces, je présume ...) dans la cuve n, ne t'étonne pas que de "purs matheux" soient un peu désarçonnés (je demande humblement à ceux qui ne le sont pas de bien vouloir me pardonner cette assertion aventurée...)
Je vais essayer de vérifier tes calculs et de voir ce qui cloche là-dedans ...
Bien cordialement, JLB

Mhuurr

Invité

Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Bonjour JLB,

Merci pour ton retour !
J'ai continué de creuser de mon coté, sans grand succès. Le résumé de ma compréhension du problème ci-dessous :

J'ai remarqué qu'en partant de la dernière cuve (n+1 = ndern), on pourrait ainsi remonter les Cn. Je pense qu'un des termes en facteur monte en puissance de n à chaque incrémentation, jusqu'à arriver à la 1ère cuve. Mais je ne parviens pas à arriver à une expression de Cn en fonction de Cn-1, n, Ca et Cb...

Mhuurr

Invité

Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Pardon, voici la bonne image :

jelobreuil

Membre

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Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Rebonjour, et merci d'avoir fait bien apparaître les images !
Dèjà, en recopiant tes calculs, je vois que dans la ligne "cuve 2", il manque un "Q" devant "C3" dans l'expression de C2, erreur répétée ensuite dans l'expression de Cn ...
Je vais poursuivre ma vérification ...
Je confirme : dans toutes les lignes de tes calculs, il manque ce "Q" dans le deuxième terme de tes expressions des Cn, et donc ces expressions ne sont pas homogènes, puisque tu additionnes des quantités et des concentrations ...   
Il faut donc que tu reprennes tes calculs, et normalement, avec cette correction, cela devrait tomber juste ...
Bien cordialement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (16-02-2024 15:35:27)

Mhuurr

Invité

Re : Etude de cas : rinçage en cascade

JLB,

En effet ! Merci de l'avoir vu, je travaillais donc avec la mauvaise expression depuis un moment..
Néanmoins cela ne règle pas l'intégralité du problème... Mon application numérique reste fausse (bien qu'il ne me manque plus que 4.5 g/h vs 45 auparavant).

Je suis certain que le nombre de cuve n, composant la cascade doit intervenir dans l'expression.

L'idée étant de calculer Cn à partir de Cn-1 et de remonter la cascade jusqu'à avoir la concentration dans chaque cuve. J'ai alors l'intuition que si l'expression ne tient pas directement compte de Cn+1 (retour par surverse de la cascade), elle devra en revanche tenir compte du nombre total de cuves composant la cascade...

Avec les expressions corrigées nous arrivons à :

Je tente alors d'exprimer l'avant dernière cuve, en fonction de la dern-2-ième cuve...

On est monté en puissance, et il faudrait répéter l'opération n fois pourr arriver enfin à l'expression de C1 en fonction de CA, CB et n... Mais peut-on dégager une formule généralisée ?

Merci,

Cordialement,

Mhuurr

Invité

Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Bonsoir JLB,

Voici à quoi j'arrive finalement :

Je commence à douter qu'on puisse extraire de ceci une forme générale en fonction de n...

Glozi

Invité

Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Bonsoir,
Quand on a une suite qui vérifie une relation de récurrence d'ordre $2$ :
$$u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$$
On sait résoudre explicitement ce système (on peut ensuite imposer des conditions initiales, où plutôt dans ton cas il faudra j'imagine imposer $u_0=Ca_$ et $u_{N+1}=C_b$ et voir ce que ça donne).
Voir par exemple : https://www.bibmath.net/formulaire/inde … uitereclin si tu ne connais pas la théorie qui permet de résoudre ce genre de problème.

Sinon juste par curiosité je me demande quelles sont les unités des quantités que tu manipules (les unités de $q$ et des $C_n$) ?
Bonne soirée

jelobreuil

Membre

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Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Bonjour, Mhuurr,
En adoptant la démarche inverse, il me semble que c'est plus simple :
je reprends ton expression de C1 : C1 = (qCa + QC2)/(Q+q), et j'en tire QC2 = (Q+q)C1 - qCa = QC1 + q(C1 - Ca)
avec ton expression de C2 =  (qC1 + QC3)/(Q+q), on a QC3 = QC2 + q(C2 - C1) = QC1 + q(C1 - Ca) + q(C2 - C1) = QC1 + q(C2 - Ca)
en opérant de même avec C3, on obtient QC4 = QC1 + q(C3 - Ca)
On peut donc écrire Cn = C1 + q(Cn-1 - Ca)/Q
J'espère que cela te permet d'avancer ...
Bien cordialement, JLB.   
PS : je te prie de m'en excuser, je ne sais pas écrire mes formules en LateX ...

Mhuurr

Invité

Re : Etude de cas : rinçage en cascade

Bonjour Glozi, Jlobreuil,

Merci pour votre aide. Je viens d'y arriver avec le formulaire de suite récurrente d'ordre 2 :)
Glozi, pour te répondre :
- q et Q sont des débits.
- C des concentrations
- C*Q sont des flux.