Forum de mathématiques - Bibm@th.net

val304

Membre

Inscription : 15-02-2024

Messages : 6

Montrer un sous-groupe

Bonjour, je bloque sur la question suivante.

Soit G un groupe et soit H un sous-groupe de G. Alors G qui agit sur l’ensemble G/H =:  Ω des classes à gauche par multiplication à gauche. On note pour g ∈ G et h ∈ G l’action de h ∈ G sur gH ∈ G/H par h.(gH).

Posons N := ∩_g∈G g.H.g^-1. Montrer que N est un sous-groupe de G.

Vérifions que N est un sous-groupe de G.
Si g.H.g^-1 est un sous-groupe alors on sait que l’intersection de sous-groupes est un sous-groupe.
Donc, montrons que g.H.g^-1 est un sous-groupe de G avec g ∈ G
• élément neutre : 1 ∈ g.H.g^-1
• stabilité par inverse : ∀ x ∈ g.H.g^-1,  x^-1 ∈ g.H.g^-1
• stabilité par produit : ∀ x, y ∈ g.H.g^-1, x.y ∈ g.H.g^-1

Je sais comment montrer un sous-groupe mais je ne vois pas comment l'appliquer ici.
Est-ce-que quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Montrer un sous-groupe

Bonjour,
Réalises-tu bien que $gHg^{-1}= \{ghg^{-1}\mid h\in H\}$ ?

val304

Membre

Inscription : 15-02-2024

Messages : 6

Re : Montrer un sous-groupe

Donc ceci donne

• élément neutre : 1.1.1^-1 = 1 ∈ g.H.g^-1
• stabilité par inverse : ∀ ghg^-1 ∈ g.H.g^-1, (ghg^-1)^-1 = g^-1h^-1g ∈ g.H.g^-1 car h ∈ H est stable par inverse car H est un sous-groupe de G.
• stabilité par produit : ∀ ghg^-1, g’h’g’^-1 ∈ g.H.g^-1, ghg^-1 . g’h’g’^-1  = ghh’g’^-1 ∈ g.H.g^-1 car h.h’ ∈ H puisque c’est un sous-groupe de G donc il est stable par la loi de G.

Est-ce correct ?

Glozi

Invité

Re : Montrer un sous-groupe

Bonjour,
Pour le neutre il faut préciser pourquoi $1\in H$.
Il y a un problème sur la stabilité par inverse, mais sinon le reste me semble ok.
Bonne journée

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Montrer un sous-groupe

Qu'est-ce que c'est que ce $g'$ que tu écris dans la stabilité par produit ??

Glozi

Invité

Re : Montrer un sous-groupe

Oui effectivement je rejoins Michel, j'avais lu trop vite cette partie, my bad :)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 912

Re : Montrer un sous-groupe

Bonjour,

Sinon, vous pouvez aussi  montrer au préalable que l'application $G \rightarrow G: x \mapsto  gxg^{-1}$ est un automorphisme, ce qui sert en maintes situations en théorie des groupes ( normalité, conjuguaison, centre, actions etc ...).
L'image d'un sous-groupe par un morphisme étant un sous-groupe, le reste s'ensuit facilement.

A.