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Borassus

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Re : Question nomenclature

Pour Glozi : tu as raison, il est important que les élèves comprennent la commutativité de la multiplication. Néanmoins, dans le monde réel, tu ne peux pas commuter des valeurs. L'exemple donné par Blubber est plutôt bon. Si on l'adapte à ton exemple, quid de 100 bonbons à 2 centimes vs 2 bonbons à 100 centimes (1€) ?

Tant qu'on reste dans des notions abstraites (ie. sans aucune grandeur) tout va bien, mais dès qu'on entre dans le dur (ie. en introduisant des grandeurs), ne pas savoir faire le distinguo me paraît hasardeux.

Oui !!! Merci Doc !!

Je me souviens d'une pièce de théâtre des années 70 qui ridiculisait le milieu hospitalier.
Y était cité un aide-soignant qui, au lieu de faire un lavement au numéro 11, a fait 11 lavements au numéro 1.  :-)

DrStone

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Re : Question nomenclature

Bonsoir, même si ce sera mon dernier message de la soirée, j'irais dormir juste après. :=)

Il me semble que ton problème provient des manuels actuels, aux services des programmes actuels (ça en dit déjà long), et comme nous l'avions signalé dans d'autres conversations, ceux-ci ne devraient même pas initialement avoir vu le jour.

En effet, je vois mal comment on pourrait qualifier les ouvrages des années 70-80 ou de Bourbaki d'illogiques, alors que tout y était fait pour être parfaitement logique et justifié. J'ai passé ma vie d'élève à devoir justifier raisonnements et autres syntaxes logiques qui, à cette époque, me passaient largement au-dessus de la tête — alors même qu'il est parfaitement justifié de devoir… les justifier, oui. Simplement, quand tu as entre 11 et 17 ans, tu ne vois pas vraiment l’intérêt de tout ce verbiage et de tout ces détours alambiqués pour appliquer des définitions et théorèmes à la virgule près.

Quoi qu'il en soit, tu remarqueras par exemple que dans les deux extraits de Debray, Revuz & Queysanne, la définition est parfaitement appliquée dans les exemples. Ils ne font pas de contre-sens.

Dernière modification par DrStone (10-02-2024 00:43:26)

Borassus

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Re : Question nomenclature

Ce que je voulais faire passer comme message c'est qu'en français on écrit (et souvent on pense) de gauche à droite.
Ainsi si je pense "100 bonbons, chacun deux centimes" je vais écrire instinctivement $100\times 2$
Si je pense "2 centimes par bonbon, 100 bonbons au total" je vais écrire instinctivement $2\times 100$.

Oui ! L'expression doit effectivement traduire la logique de pensée ! Il faut donc la préciser dans la rédaction avant d'écrire l'expression !

En revanche si j'ai cinq baguettes à 1€, je vais écrire ou bien $5\times 1€$ ou $1€\times 5$, mais je ne vais pas écrire $1\times 5€$ ou $5€\times 1$.

Oui ! C'est important les unités ! Le $1$ signifie 1 euro par baguette. On a donc un produit homogène : nombre de baguettes multiplié par un coût par baguette est égal à un coût.

Pour moi l'ordre dans lequel on met les facteur n'a aucune importance tant qu'on a conscience de ce que représente chaque facteur (là apparaît l'unité).

Malheureusement, le calcul littéral annihile cette conscience.
On le voit par exemple dans des manuels de physique français : comme 1 est neutre pour la multiplication, on l'ignore, et on aboutit à des expressions dont l'homogénéité des grandeurs n'est pas du tout respectée.
(Les livres américains tiennent compte du fait que 1 en physique a toujours une unité, et donc n'est pas neutre pour la multiplication : dans l'application numérique, ils accompagnent toutes les valeurs de leurs unités, y compris 1.)

(ie ne pas écrire $P=(5A)\times (2V)$ par exemple).

Mais si, justement ! Voir la parenthèse ci-dessus à propos des ouvrages américains.

Glozi

Invité

Re : Question nomenclature

Non, le courant est de 2A la tension de 5V donc pour montrer qu'on a compris la formule il faut plutôt écrire $(2A)\times (5V)$ (ou $(5V) \times (2A)$).
Tu dis que le calcul littéral annihile la logique. Je ne suis absolument pas d'accord. Quand on écrit $P=UI$ on précise que $U$ représente la tension et que $I$ représente l'intensité. Quand on écrit $d=vt$ on précise que $v$ est la vitesse et que $t$ est une durée. Si on demande aux élèves d'introduire leurs variables avant de faire du calcul avec c'est justement pour ce genre de raisons (pour avoir conscience d'avec quoi on travaille).
Au passage : le calcul n'est qu'une branche des mathématiques. Faire des mathématiques c'est aussi (et surtout) développer sa capacité d'abstraction et de généralisation.

Borassus

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Re : Question nomenclature

Bonjour Glozi et tout le monde,

Non, le courant est de 2A la tension de 5V donc pour montrer qu'on a compris la formule il faut plutôt écrire $(2A)\times (5V)$ (ou $(5V) \times (2A)$).

Excuse-moi, j'avais mal lu : je pensais que tu trouvais illogique de placer les unités dans un calcul.
Oui, effectivement, à puissance égale, une tension de 5V et une intensité de 2A ne sont pas équivalentes à une intensité de 5A et une tension de 2V.
Par contre, l'expression consacrée de la puissance étant $P = UI$, il me semble logique de placer la valeur de la tension en premier, et la valeur de l'intensité en second, même si on ne précise pas les unités, de façon à être en accord avec la structure de la définition de la puissance.
On en revient à l'importance de l'ordre des facteurs lorsque le produit traduit une situation concrète.

Tu dis que le calcul littéral annihile la logique. Je ne suis absolument pas d'accord. Quand on écrit $P=UI$ on précise que $U$ représente la tension et que $I$ représente l'intensité. Quand on écrit $d=vt$ on précise que $v$ est la vitesse et que $t$ est une durée. Si on demande aux élèves d'introduire leurs variables avant de faire du calcul avec c'est justement pour ce genre de raisons (pour avoir conscience d'avec quoi on travaille).

J'entendais des calculs mathématisés plus ou moins conséquents dans lesquels on perd facilement le "sens physique".

J'ai le souvenir d'un remarquable prof de physique — au point qu'il avait plus d'étudiants dans son amphi en fin d'année qu'en début — qui enseignait à Centrale.
Il racontait que ses étudiants étaient tellement plongés dans le calcul littéral qu'ils ne se rendaient pas compte de la réalité de ce qu'ils écrivaient.
Il citait comme exemple un problème traitant d'un ventilateur.
La dernière question était de déterminer l'expression de la vitesse du ventilo.
Telles qu'elles étaient formulées, les vitesses allaient de 1 tour par minute — vous vous aérez avec la trotteuse de votre montre — à un milliard de tours par seconde — vous branchez le ventilateur et vous vous envolez brutalement pour vous écraser contre le premier obstacle venu.

Autre exemple, lui aussi associé à Centrale :
Alors que j'étais dans mon bureau au CEA Saclay, un stagiaire de cette école — très fier d'être élève de Centrale, à un point véritablement amusant : « A la montre que m'ont offert mes parents lorsque j'ai intégré Centrale, il est treize heures » — vient me voir car il ne comprenait pas pourquoi ses calculs aboutissaient à un rayon d'atome de 6 m, alors qu'il avait suivi très précisément la formule d'un livre.

Je lui demande de quel ouvrage il s'agit. Il me montre : c'était un livre américain dans lequel toutes les constantes étaient calculées... en unités cgs.  :-)
Je lui ai donc vivement conseillé de recalculer ces constantes en unités SI avant d'appliquer la formule...

Faire des mathématiques c'est aussi (et surtout) développer sa capacité d'abstraction et de généralisation.

Tout à fait !!! Encore faut-il s'appuyer sur une logique et une cohérence permanentes !!
Alors, oui, les capacités d'abstraction et de généralisation peuvent se développer et s'enrichir à chaque ligne lue ou écrite.

Blubber

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Re : Question nomenclature

J'ai l'impression d'avoir perdu le contrôle sur le cours de la discussion… :D
Boarf, tant pis, ça échange des informations intéressantes !

Borassus

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Re : Question nomenclature

Bonjour Doc,

Il me semble que ton problème provient des manuels actuels, aux services des programmes actuels (ça en dit déjà long), et comme nous l'avions signalé dans d'autres conversations, ceux-ci ne devraient même pas initialement avoir vu le jour.

Excuse-moi, je n'adhère pas vraiment à cette vision d'un certain "âge d'or" au cours duquel l'enseignement des maths était incomparablement meilleur que l'enseignement actuel :
J'ai rencontré bien davantage de personnes de ma génération — je vais sur mes 72 ans —, ou plus âgées, qui ont un très mauvais souvenir des maths, que de personnes, comme toi, ayant perçu l'enrichissement dont ils avaient bénéficié.

En effet, je vois mal comment on pourrait qualifier les ouvrages des années 70-80 ou de Bourbaki d'illogiques, alors que tout y était fait pour être parfaitement logique et justifié.

S'il te plaît, ne me fais pas dire ce que je ne dis pas :
Ce que je dis, c'est que la facilité du calcul littéral, et son omniprésence par des formules ayant valeur d'écriture sainte, sans remise en cause possible, ont induit des biais de logique et de cohérence, et ce à tous les niveaux, même les plus savants, à côté desquels je suis "nanoscopique".

Je reprends mon exemple de la fonction affine appliquée à une situation d'abonnement suivi de l'achat d'unités à un prix unitaire.
La traduction littérale classique est $ax + b$, dans laquelle $a$ désigne le prix unitaire, $x$ le nombre d'unités achetées et $b$ le coût de l'abonnement.
La formulation logique, et malheureusement parfaitement inhabituelle, est $b + x \times a$.

A quel processus d'achat ou de vente correspondrait une logique $ax + b$ ?
A un achat ou une vente de $a$ unités au coût unitaire variable $x$ plus une commission fixe $b$.
(Cela pourrait correspondre à l'achat ou à la vente d'un nombre donné d'actions à un moment opportun, même si le calcul de la commission boursière n'est en réalité pas si simple.)

J'ai passé ma vie d'élève à devoir justifier raisonnements et autres syntaxes logiques qui, à cette époque, me passaient largement au-dessus de la tête — alors même qu'il est parfaitement justifié de devoir… les justifier, oui. Simplement, quand tu as entre 11 et 17 ans, tu ne vois pas vraiment l’intérêt de tout ce verbiage et de tout ces détours alambiqués pour appliquer des définitions et théorèmes à la virgule près.

Je suis d'accord qu'il faut effectivement justifier la bonne utilisation de tel ou tel théorème, lorsque cela a effectivement un sens. (Mais là, on entre dans un autre débat.)

Quoi qu'il en soit, tu remarqueras par exemple que dans les deux extraits de Debray, Revuz & Queysanne, la définition est parfaitement appliquée dans les exemples. Ils ne font pas de contre-sens.

Je veux comprendre par quelle opération magique $a = k \times b$ lorsque $a$ est multiple de $b$ — c'est-à-dire lorsque le reste de la division de $a$ par $b$ est nul —, et $a = bq + r$ lorsque le reste n'est pas nul !!

PS : "Queysanne" me disait quelque chose. J'ai effectivement sur une de mes étagères le livre de Michel Queysanne "Algèbre - 1er cycle scientifique - Préparation aux grandes écoles", imprimé en 1964 aux éditions Armand Colin, qui a été mon livre de travail lors de mon basculement de licence de russe calamiteuse vers les maths.

Borassus

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Re : Question nomenclature

J'ai l'impression d'avoir perdu le contrôle sur le cours de la discussion… :D
Boarf, tant pis, ça échange des informations intéressantes !

Pardon d'avoir phagocyté TON débat !  :-)

Bernard-maths

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Re : Question nomenclature

Bonjour!

Tant de baratins, ça donne soif ...

C'est vrai qu'une fois le bar atteint, on peut boire un bon coup ? ^^

Le baracande et le consommateur ... ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (10-02-2024 14:25:31)

Borassus

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Re : Question nomenclature

Bonjour Bernard,

Compris ! :-)

Oui, c'est vrai, j'ai tendance à être (fortement) prolixe.  :-)

Borassus

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Re : Question nomenclature

Bonjour à tous,

Aïe, @Bernard-maths va être subitement pris d'une soif dévorante !
(N'en abuse pas, toutefois, si tu épanches ta soif par des boissons fortement alcoolisées ; je m'en voudrais de nuire à ta santé. :-)

Hier soir, j'ai consulté le livre de Michel Queysanne que je mentionnais plus haut : puisque c'est la seule référence ancienne dont je dispose, je voulais voir quelle définition il donnait d'un entier multiple d'un autre.
Voici ce qu'il écrit :

Etant donnés deux entiers naturels $a$ et $b$ ($b \ne 0)$, s'il existe [un entier] $q$ tel que $a = bq$, il est unique (régularité de tout entier non nul pour la multiplication). On dit [alors] que $a$ est un multiple de $b$ [c'est moi qui souligne], ou que $b$ divise $a$ ; cette dernière relation est notée $b | a$.

Et là, la lumière fut : Bon sang, mais c'est bien sûr !!

Dans CETTE définition du multiple, l'égalité $a = bq + r$ est parfaitement homogène ! ($a$ est multiple de $b$ à $r$ unités près).

Donc, oui, @Blubber, la division que tu poses se traduit bien par $23 = 7 \times 3 +2$ (23 est multiple de 7 à 2 unités près).
La table de 7 correspondante est alors $7 \times 1$,  $7 \times 2$,  $7 \times 3$ ... (7 groupes de 1, 7 groupes de 2, 7 groupes de 3 ...)
Vous avez donc tous raison !
Et j'ai tort de m'opposer à vous et aux auteurs que vous citez !

Si maintenant on prend la définition INVERSE du multiple : $a = kb$ — comme je le fais car c'est celle que je connais par les manuels, récents ou actuels, sur lesquels j'ai travaillé —, l'écriture homogène est $a = qb + r$.
Dans ce cas, la traduction de la division posée est $23 = 3 \times 7 + 2$ (23 est multiple de 7 à 2 unités près).
La table de 7 correspondante est alors $1 \times 7$,  $2 \times 7$,  $3 \times 7$ ... (1 groupe de 7, 2 groupes de 7, 3 groupes de 7 ...)
C'est alors moi qui ai raison de m'opposer à vous et aux auteurs.

Ce qui est déroutant, c'est qu'un auteur ou un prof ne respecte pas cette homogénéité, en croisant la définition du multiple et l'écriture de la division euclidienne.

Ainsi, il n'est a priori pas possible au seul vu de l'égalité  $23 = 7 \times 3 +2$  ou  $23 = 3 \times 7 + 2$  de déterminer de quelle division euclidienne il s'agit : d'une division euclidienne par 7 ou par 3. (Il y a quatre possibilités.)
Tout dépend de la définition sous-jacente du multiple, et donc de la définition que le lecteur a en tête : deux lecteurs pratiquant les deux définitions inverses s'opposeront, chacun démontrant mordicus à l'autre qu'il a raison.
C'est ce qui s'est passé dans cette discussion.

On peut maintenant répondre à coup sûr à la question initiale de @Bubbler (après ce looong détour ; pardon encore !) :
Le multiplicande est bien le facteur restant constant, et le multiplicateur est le facteur pouvant être variable.
Donc, le salaire chargé mensuel est le multiplicande, et le nombre de mois est le multiplicateur. (Le coût total pour l'employeur est multiple du salaire chargé mensuel, mais est proportionnel au nombre de mois, le coefficient de proportionnalité étant précisément le multiplicande.)

Bonne dégustation, Bernard, et bon dimanche à tous !

PS : J'apprécie beaucoup lorsque j'aboutis à une compréhension de fond que je sais transmettre. (Je m'efforce d'expliquer non pas ce que je sais, mais bien ce que j'ai compris, parfois difficilement.)
Merci grandement à vous tous d'avoir contribué par vos réponses à enfin asseoir cette compréhension sur un sujet qui me gêne depuis longtemps car je me heurte en permanence au manque d'homogénéité entre la définition du multiple et l'écriture de l'équation euclidienne.
J'espère que, de mon côté, je vous ai aussi été profitable, malgré ma (très) perceptible tendance au "baratinande" intellectualisé.   :-)

Dernière modification par Borassus (11-02-2024 12:59:40)

Borassus

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Re : Question nomenclature

Le multiplicande est le facteur restant constant, et le multiplicateur est le facteur pouvant être variable.

On peut faire le parallèle avec dividende et diviseur : le dividende (constant) peut être divisé par tout un lot de diviseurs.

Dernière modification par Borassus (11-02-2024 11:48:48)

Borassus

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Re : Question nomenclature

Nota : La définition "ancienne" du multiple a l'avantage d'être cohérente avec l'écriture de la fonction linéaire $f(x) = ax$ :

Si $a$ est un entier, $f(x)$ est un multiple de $a$ à chaque fois que $x$ est une valeur entière.

Bernard-maths

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Re : Question nomenclature

Voilà qui rejoint mon post #11 ...

B-m

Borassus

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Re : Question nomenclature

Tout à fait !

Mais maintenant, nous le comprenons de façon étayée.

Borassus

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Re : Question nomenclature

J'ai rajouté cette parenthèse à mon post #61 :

« Donc, le salaire chargé mensuel est le multiplicande, et le nombre de mois est le multiplicateur. (Le coût total pour l'employeur est multiple du salaire chargé mensuel, mais est proportionnel au nombre de mois, le coefficient de proportionnalité étant précisément le multiplicande.) »

Dernière modification par Borassus (11-02-2024 13:10:43)

DrStone

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Re : Question nomenclature

Bonjour à tous.

Je suis heureux de voir que notre ami Borassus est enfin rentré dans le rang.

Ce qui est déroutant, c'est qu'un auteur ou un prof ne respecte pas cette homogénéité,

Je suis parfaitement d'accord et c'est l'un de mes reproches me faisant dire que si, les manuels et programmes d'autrefois étaient largement meilleurs qu'aujourd'hui : il n'y a aucune comparaison à tenir.
Qu'importe que les anciens élèves aient ou non détesté les maths ; cela n'a aucune importance quant à la qualité d'un enseignement. La seule métrique intéressante à observer est le niveau de maitrise des élèves sur les concepts enseignés. Et encore une fois, je remets le graphique suivant :

La maitrise des élèves est ridicule. Je me demande s'il existe le même genre de graphique mais pour les élèves de seconde ou mieux, de terminale. Ça serait intéressant de voir à quel point le niveau de maitrise global des notions "avancées" monte ou descend en fonction des décennies.
D'ailleurs, j'ai l'impression que les élèves d'aujourd'hui n'aiment pas plus les maths… au contraire, ils les détestent autant mais en plus, ils ne voient jamais leurs capacités de déduction et de raisonnement évoluer… étant donné qu'il n'y a plus aucune Mathématique (au singulier et avec une majuscule :P) enseignée.

Remarque, nous parlons ici essentiellement de Mathématique, mais il me semble évident que le niveau baisse dans tous les enseignements : qu'il s'agisse de sciences dures, de littérature, de langues, de sciences humaines… la catastrophe se déroule sur tout le territoire et dans tous les domaines. Malheureusement l'arrivée des IA qui t'expliquent avec aplomb que $2x+1=0\iff x=2$, du fait qu'elles ne savent pas calculer… ou font des hallucinations de faits inexistants… de part le fait que ce ne sont que des programmes qui prédisent les mots qui doivent être placés à la suite des autres selon des statistiques réalisées sur des milliards d'échantillons… comprenant les élèves, Madame Tout-le-Monde qui ne sait pas résoudre la moindre équation, ou encore le complotiste moyen du bar du coin ; va rendre encore plus difficile le fait de "forcer" les élèves à se dépasser : «à quoi ça sert ? Y'a chatGPT qui le fait pour moi».

Très franchement, j'ai peur de ce que vont donner, à titre d'exemple, les futurs médecins/pharmaciennes et pharmaciens/infirmières et infirmiers alors qu'ils savent tout juste calculer des proportions… Combien d'erreurs de dosages sont à prévoir avant qu'on se dise qu'il faille améliorer les choses ? Probablement que ça ne changera pas tant qu'on restera dans une idéologie néolibérale dans laquelle la paix sociale est achetée avec des services au rabais pour les gueux que nous sommes (les plus riches pouvant aller dans des cliniques et hôpitaux privés avec de meilleurs médecins et infirmiers).

Dernière modification par DrStone (11-02-2024 12:37:37)

Borassus

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Re : Question nomenclature

Je suis heureux de voir que notre ami Borassus est enfin rentré dans le rang.

:-)

Je ne dispose pas de manuels de l'époque et ne peux donc véritablement comparer de façon critique.
Mais je me rends compte en permanence des insuffisances, parfois criantes, des manuels actuels.
Quelques exemples, parmi beaucoup d'autres, qui me viennent à l'esprit car fréquemment rencontrés, en vrac :

• Exemples contredisant dans leur structure ce qui a été encadré et mis en gras juste auparavant
  Exemples types : définition du multiple et exemple en contradiction flagrante avec la définition ; formule du binôme de Newton selon les puissances croissantes de $a$, accompagnée des exemples  $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$  et $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

• Formules présentées comme définition alors qu'elles ne sont que des conséquences de la définition
  Exemple type, qui déroute beaucoup les élèves : la définition d'emblée du produit scalaire par une des formules de polarisation (ploum !)

• Non explication de la logique de base d'un concept
  Exemple type : la définition du nombre dérivé en $a$ — j'apprends aux élèves à raisonner plutôt en $x_0$ — en tant que limite du taux d'accroissement, sans expliquer ce qu'est un taux, et sans donc expliquer que le taux d'accroissement est une comparaison relative entre la variation de la fonction et la variation de la variable qui génère la première, et que ce taux devient un coefficient de proportionnalité, appelé nombre dérivé en $x_0$, lorsque la variable $x$ devient infiniment proche de la valeur $x_0$.

• Références historiques n'apportant rien à la compréhension car on n'explique pas la logique de pensée de tel ou tel mathématicien lui ayant permis d'aboutir à tel théorème ou à telle formule

• Contradiction entre une formule et le "titre" de la formule
  Exemple type : l'équation de la tangente présentée (bêlée...) un nombre incommensurable de fois selon le modèle $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ alors que l'équation réduite d'une droite est $y = mx + p$.
  Les élèves sont tout étonnés de comprendre que l'ordonnée à l'origine de la tangente est $f(a) - f'(a)a$ car l'équation développée à partir de la formule de départ est $y = f'(a)x + f(a) - f'(a)a$.

• Un nombre incalculable d'exercices qui ne servent à rien car trop guidés — je les appelle "exercices GPS" : au prochain carrefour, prendre la deuxième sortie ; au feu rouge, prendre la rue "Trucmuche-Machin" à gauche — et ne permettant donc pas d'en comprendre la logique. A la fin l'élève se retrouve avec un gros « Et ??? »
  (Je dis souvent « A force de vous tenir par la main, on ne vous apprend pas à marcher. »)

• Des éléments permettant de comprendre la véritable logique d'une notion ou d'une formule cachés dans des exercices, donc non vus par tous ceux qui ne s'y attaquent pas (et ceux qui les résolvent ne comprennent pas forcément l'enseignement à tirer)
  Exemple type que j'ai découvert récemment — j'ai même repéré en marge par « Enfin !!! » — la signification de l'équation de la tangente en tant qu'approximation du premier ordre, alors que j'explique d'emblée à mes élèves de Première les formules de Taylor et de Maclaurin.

• etc. , etc.

Dernière modification par Borassus (11-02-2024 14:49:30)