Cercle de centre C et de rayon R dans l'espace

Borassus · 30-01-2024 19:34:13

Bonsoir,

J'aimerais pousser mes élèves de Terminale un peu plus loin que le bout du nez de la représentation paramétrique d'une droite et de l'équation cartésienne d'un plan.

(Ils sont déjà déroutés lorsque je leur demande de convertir une équation réduite de droite $y = ax +b$ en représentation paramétrique car ils ne font pas forcément le lien entre "coefficient directeur" — souvent d'ailleurs calculé selon une logique de "coefficient de linéarité" par la formule $\dfrac{y_B - y_A}{x_B -x_A}$... — et "vecteur directeur". Ou lorsque je leur demande de définir une représentation paramétrique d'un cercle dans la plan $Oxy$.)

Je me pose donc la question : comment définir dans l'espace un cercle de centre $C$, de rayon $R$ et de vecteur normal $\vec n (\alpha, \beta, \gamma)$ autrement que comme intersection de la sphère $(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2 = R^2$ et du plan $\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta$, $\delta$ étant calculé pour que le plan passe passe par le centre $C$ ?

Existe-t-il une représentation paramétrique d'un cercle dans l'espace connaissant les coordonnées de son centre, son rayon et les coordonnées de son vecteur normal ?

Merci par avance de vos indications.

Borassus · 30-01-2024 20:00:53

Borassus a écrit :

[...] autrement que comme intersection de la sphère $(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2 = R^2$ et du plan $\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta$, $\delta$ étant calculé pour que le plan passe passe par le centre $C$ ?

Comment alors déterminer exprimer cette intersection ??

Dernière modification par Borassus (30-01-2024 22:26:05)

DrStone · 30-01-2024 22:52:06

Il me semble qu'il n'existe pas d'équation de cercles dans l'espace ; du moins, pas dans le sens que tu entends. Afin d'éviter la redite, je te renvoie vers ce lien math SE (j'ai dû passer par un raccourcisseur d'URL vu que le forum bloque le(s) mot(s) "st@ck €xchange")… Le lien étant en anglais, je peux te fournir une traduction au besoin.

Borassus · 30-01-2024 23:04:15

Merci, Doc !

Je vais lire immédiatement ce document ! (Je lis couramment l'anglais. Tu n'as donc pas besoin de me le traduire. :-)

DrStone · 30-01-2024 23:39:57

Parfait alors ! :)

Si d'autres membres du forum ont du mal avec l'anglais mais veulent quand même savoir de quoi il en retourne, je réaliserais une traduction au besoin. ;)

Dernière modification par DrStone (30-01-2024 23:43:22)

Borassus · 30-01-2024 23:43:08

Tout d'abord, ne rencontrant avec mes élèves que des plans et des points correspondant à des situations particulières (donc avec des coefficients explicites), je n'avais pas véritablement mémorisé que le terme constant est tout simplement égal à $-ax_0 - by_0 - cz_0$ !
(Je l'avais bien sûr vu en passant quelque part, mais ne l'avait pas suffisamment intégré pour l'appliquer dans mes cours.)

La forme $a(x -x_0) + b(y - y_0) +c(z - z_0)$ est BEAUCOUP plus explicite que la forme traditionnelle $ax + by + cz + d = 0$.
Pourquoi fait-on apprendre la seconde et pas la première ??!!

Pour en revenir à l'article, la représentation paramétrique $p + r\cos t \vec (v_1) + r\sin t \vec (v_2)$ me plaît beaucoup car elle entre dans la même logique que la représentation paramétrique d'une droite, d'un plan, ou d'un cercle dans le plan $Oxy$ !
Je vais très probablement la tester à mon retour des petites vacances que je m'offre à Saint-Malo de demain à lundi.

Pour ce qui est de la seconde représentation $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$ avec $(x - x_0) + (y - y_0) + (z - z_0) = 0$ , qui effectivement correspond à l'intersection de la sphère de centre $(x_0 , y_0, z_0)$ et de rayon $r$ avec le plan de vecteur normal $\vec n$ passant par le centre, comment concrètement réunir les deux équations ??

Concernant la troisième façon de faire, je ne comprends pas bien en première lecture ce que signifie "équation dégénérée".
Mais l'équation répond, semble-t-il, à ma question ci-dessus. Un peu comme dans le plan, en exprimant $y$ en fonction de $x$ par $(y - y_0)^2 = R^2 - (x - x^2)$ qui, de fait, fait implicitement la "jonction" de deux demi-cercles à diamètre horizontal. C'est en ce sens qu'il faut comprendre "équation dégénérée" ?

Dernière modification par Borassus (31-01-2024 07:58:16)

Borassus · 31-01-2024 08:15:22

Borassus a écrit :

Pour en revenir à l'article, la représentation paramétrique $p + r\cos t \vec (v_1) + r\sin t \vec (v_2)$ me plaît beaucoup car elle entre dans la même logique que la représentation paramétrique d'une droite, d'un plan, ou d'un cercle dans le plan $Oxy$ !

C'est intéressant : cette expression, qui se traduit dans sa logique par « un point, plus un vecteur, plus un autre vecteur », utilise la notation $A + \vec u$ qui a fait débat dans la discussion https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16728 intitulée « Coordonnées d'un point/espace affine, que j'utilise maintenant couramment avec mes élèves, et en pensée lorsque je leur écris des explications d'exercices, notamment dans la version $\vec {AB} = B - A$.

Borassus · 31-01-2024 10:16:02

Borassus a écrit :

[...]Un peu comme dans le plan, en exprimant $y$ en fonction de $x$ par $(y - y_0)^2 = R^2 - (x - x^2)$ qui, de fait, fait implicitement la "jonction" de deux demi-cercles à diamètre horizontal.

de deux demi-cercles à diamètre horizontal d'équation $y = y_0 \pm \sqrt {R^2 - (x - x^2)}$

Michel Coste · 01-02-2024 09:02:11

Bonjour,

Borassus a écrit :

Pour ce qui est de la seconde représentation $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$ avec $(x - x_0) + (y - y_0) + (z - z_0) = 0$ , qui effectivement correspond à l'intersection de la sphère de centre $(x_0 , y_0, z_0)$ et de rayon $r$ avec le plan de vecteur normal $\vec n$ passant par le centre, comment concrètement réunir les deux équations ??

Tout simplement en utilisant la somme des carrés :
$$ \left((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 - r^2\right)^2+\left((x - x_0) + (y - y_0) + (z - z_0)\right)^2 = 0$$C'est général : tout ensemble algébrique dans $\mathbb R^n$ peut être décrit par une seule équation.

Bernard-maths · 01-02-2024 09:24:49

Bonjour !

on peut aussi utiliser la somme des valeurs absolue ... non ?

B-m

Michel Coste · 01-02-2024 11:05:01

Oui bien sûr, mais la somme des valeurs absolues n'est pas un polynôme. Et un ensemble algébrique est un ensemble défini par des équations polynomiales.

Borassus · 07-02-2024 11:29:49

Michel Coste a écrit :

Tout simplement en utilisant la somme des carrés :
$$ \left((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 - r^2\right)^2+\left((x - x_0) + (y - y_0) + (z - z_0)\right)^2 = 0$$C'est général : tout ensemble algébrique dans $\mathbb R^n$ peut être décrit par une seule équation.

Bonjour Michel,

Merci de cette indication, et de ces explications.
Je note.

PS : Excuse-moi, je n'ai pas répondu de suite car j'étais en vacances durant la semaine et ne me suis connecté au forum que tout à l'heure.

Borassus · 07-02-2024 12:00:58

Borassus a écrit :

Pour ce qui est de la seconde représentation $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$ avec $(x - x_0) + (y - y_0) + (z - z_0) = 0$ , qui effectivement correspond à l'intersection de la sphère de centre $(x_0 , y_0, z_0)$ et de rayon $r$ avec le plan de vecteur normal $\vec n$ passant par le centre, comment concrètement réunir les deux équations ??

Oups ! Je me suis rendu compte que j'avais oublié les coordonnées du vecteur $\vec n$.

Donc, l'équation qui réunit les deux équations, celle de la sphère et celle du plan, est :
$\left[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 - r^2 \right]^2 + \left[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) \right]^2 = 0$

Borassus · 07-02-2024 12:18:11

Borassus a écrit :

Merci de cette indication, et de ces explications.

Merci de cette indication, effectivement toute simple !

Bernard-maths · 07-02-2024 17:23:19

Bonsoir à tous !

Pour utiliser ce genre d'équation, il faut bien comprendre que la somme nulle de nombres positifs ou nuls implique que tous les nombres sont nuls ! Très satisfaisant pour le principe, et pour ce qu'on veut en faire ...

Par contre ces équations ne sont pas forcément comprises par les logiciels informatiques de tracé d'image !

Voici un exemple. J'appelle ça un équation fantôme ... avez vous une solution parade à cela ?

Bernard-maths

Glozi · 07-02-2024 20:57:45

Bonjour,
@Bernard-maths
De manière générale, les flottants (nombres à virgules) sont "mal gérés" en informatique, ainsi dire au logiciel de tester si deux flottants sont égaux : $a=b$, c'est vraiment très ambitieux... D'expérience, il faut toujours mieux demander si $|a-b|<\varepsilon$ où le $\varepsilon$ est petit (de préférence prendre une puissance de $2$ comme $\varepsilon = 2^{-16}$. Ainsi, si tu remplaces le "$=0$" par "$<\varepsilon$", alors le logiciel devrait trouver quelque chose qui ressemble à la figure attendue.

PS : plutôt que "mal gérés", il faut plutôt voir qu'on ne peut mettre qu'un nombre fini de chiffres après la virgule en informatique. Ainsi certaines opérations vont provoquer certains décalages sur le dernier chiffre après la virgule qui ne devraient pas être là. De plus, si ton logiciel a un algorithme naïf qui teste l'équation $a(x,y,z)=0$ que pour certaines valeur de $x$, $y$, $z$ qui ne tombent pas "pile poil" sur le cercle, il ne verra rien...

PPS : je n'utilise pas ce genre de logiciel, aussi je ne sais pas si la solution que j'ai proposée fonctionne.
Bonne journée

Borassus · 08-02-2024 00:43:46

Bonjour à tous,

GeoGebra 3D trace bien le cercle indiqué de centre (1,1,1), de rayon 4 et de vecteur normal (1,1,1) mais j'ai du mal à le voir dans la bonne perspective.

Bernard-maths · 08-02-2024 06:40:16

Bonjour à tous !

@Glozi : merci d cs conseils, je vais y réfléchir (un peu à nouveau ...)

@Borassus : moi, il me met eq1 ?
Alors comment fais tu ?

B-m

PS : peux tu envoyer ton progamme ?

Dernière modification par Bernard-maths (08-02-2024 07:48:05)

Michel Coste · 08-02-2024 09:14:21

Bonjour,
Avec Surfer, en introduisant un paramètre $a$, pour $a=0$ et pour $a$ petit positif :

Michel Coste · 08-02-2024 13:46:08

Il est assez normal qu'un logiciel représentant des surfaces données sous forme implicite ne voie pas les courbes (de dimension 1). Un exemple : la surface d'équation $z(x^2+y^2)-y^3=0$ (parapluie de Cartan). Cette surface s'appelle un parapluie car elle a un manche : l'axe des $z$, qui traverse la toile du parapluie. On ne voit pas le manche quand on demande à Surfer (par exemple) de représenter la surface.
Petite colle : comment perturber l'équation de la surface pour "l'épaissir" et faire apparaître tout le manche ?

Borassus · 09-02-2024 14:57:06

Bernard-maths a écrit :

[...]
@Borassus : moi, il me met eq1 ?
Alors comment fais tu ?
B-m
PS : peux tu envoyer ton progamme ?

Bonjour à tous, et plus particulièrement à Bernard,

Effectivement, cette équation dépasse les capacités de GeoGebra : soit il traduit par "eq 1 ?", soit il réalise un cercle patatoïde dans un plan qui ne correspond pas au plan de vecteur normal (1,1,1), soit il trace deux cercles, même pas concentriques, dans un plan parallèle au plan Oxy.

Par contre, il comprend les équations séparées de la sphère et du plan, et trace bien le cercle intersection des deux dans le bon plan.

Borassus · 09-02-2024 15:34:51

Borassus a écrit :

[...]
Pour en revenir à l'article, la représentation paramétrique $p + r\cos t \vec {v_1} + r\sin t \vec {v_2}$ me plaît beaucoup car elle entre dans la même logique que la représentation paramétrique d'une droite, d'un plan, ou d'un cercle dans le plan $Oxy$ !

Rebonjour,

Question : Comment concrètement définir deux vecteurs orthogonaux $\vec {v_1}$ et $\vec {v_2}$, tous deux orthogonaux au vecteur normal $\vec n(a, b,c)$, et ayant pour origine le centre $C(\alpha, \beta, \gamma)$ ??

En effet, leurs coordonnées $(x_1, y_1, z_1)$ et $(x_2, y_2, z_2)$ doivent vérifier les équations suivantes :
$a(x_1 - \alpha) + b(y_1 - \beta) + c(z_1 - \gamma) = 0$ ($\vec {v_1}$ orthogonal à $\vec n$)
$a(x_2 - \alpha) + b(y_2 - \beta) + c(z_2 - \gamma) = 0$ ($\vec {v_2}$ orthogonal à $\vec n$)
$(x_1 - \alpha)(x_2 - \alpha) + (y_1 - \beta)(y_2 - \beta) + (z_1 - \gamma)(z_2 - \gamma) = 0$ ($\vec {v_1}$ orthogonal à $\vec {v_2}$)

Merci d'avance de vos indications

Michel Coste · 09-02-2024 15:43:31

Un vecteur n'a pas d'origine.
Tu as le choix pour $\vec{v_1}$. Tu peux lui imposer une condition supplémentaire, par exemple d'avoir sa première coordonnée nulle si $b$ et $c$ ne sont pas tous les deux nuls. Tu peux alors prendre $(0,-c,b)$.
Ensuite, tu peux prendre pour $\vec{v_2}$ le produit vectoriel $\vec{n}\wedge\vec{v_1}$.

Dernière modification par Michel Coste (09-02-2024 15:45:52)

Borassus · 09-02-2024 16:16:16

Michel Coste a écrit :

[...]
Ensuite, tu peux prendre pour $\vec{v_2}$ le produit vectoriel $\vec{n}\wedge\vec{v_1}$.

Compris. Merci Michel.
(Je me doutais bien qu'il fallait raisonner en termes de produit vectoriel.)

Condition supplémentaire :
La représentation paramétrique citée ci-dessus sous-entend que les vecteurs $\vec {v_1}$ et $\vec {v_1}$ sont unitaires.
Comment donc obtenir des vecteurs unitaires simples (sans avoir à "diviser" les vecteurs par leur norme) ?

Michel Coste · 09-02-2024 16:40:28

Je ne vois aucun moyen (je pense que c'est impossible) d'avoir des formules rationnelles en fonction des coordonnées de $\vec n$, sans racine carrée.
P.S. Le plan vectoriel orthogonal au vecteur $(1,1,1)$ ne contient aucun vecteur unitaire à coeffcients rationnels, par exemple.

Dernière modification par Michel Coste (09-02-2024 17:20:37)

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