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Puissances de nombres premiers

Bonjour,

J'ai élaboré une conjecture que je trouve très difficile à prouver. J'aimerais votre aide, même si ce n'est qu'une piste, merci.

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Soit [tex]n[/tex] un entier supérieur à 1, [tex]\varphi(n)[/tex] l'indicatrice d'Euler de n, [tex]\sigma(n)[/tex] la somme des diviseurs de n et [tex]P_n[/tex] le nième nombre premier.
Soit l'expression [tex]A=\varphi(|P_{n+2}-\sigma(n)|)+1[/tex]
Si [tex]A \equiv 3 \mod 20[/tex] alors soit :

1) [tex]A[/tex] est un nombre premier
2) [tex]A[/tex] n'est pas un nombre premier mais en calculant [tex]|P_{n+2}-\sigma(n)|=p^k[/tex] avec [tex]p[/tex] un nombre premier et [tex]k[/tex] un entier supérieur ou égal à 2.

Exemples :

Soit [tex]n=10270001113[/tex], nous avons :

[tex]A=\varphi(|P_{10270001115}-\sigma(10270001113)|)+1[/tex]
[tex]A=\varphi(259189944599-10468624896)+1=248721319703[/tex] qui est premier.

Soit [tex]n=680[/tex], nous avons :
[tex]A=\varphi(|P_{682}-\sigma(680)|)+1[/tex]
[tex]A=\varphi(5101-1620)+1=3423[/tex] qui n'est pas premier, dans ce cas selon la conjecture on calcule  [tex]P_{n+2}-\sigma(n)=59^2[/tex], ce qui est bien une puissance d'un nombre premier.

La conjecture a été vérifiée jusqu'à [tex]n = 526 388 126[/tex] (calculs avec PARI/GP).
Un autre exemple avec [tex]k=6[/tex], on a [tex]n=526388126[/tex]. Dans ce cas on a :
[tex]A=10549870323[/tex] qui n'est pas premier mais on calcule [tex]|P_{n+2}-\sigma(n)|=47^6[/tex] (ici [tex]k=6[/tex] et c'est bien la puissance d'un nombre premier).

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