Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Pierrot2000.

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Probabilité

Bonjour,
Je suis tombé sur cet exercice qui me pose problème. Je ne sais pas si l'utilisation d'une loi binomiale serait adaptée dans ce cas, ou si le dénombrement par combinaison serait peut-être plus efficace. Avec les deux méthodes, les résultats semblent assez similaires. Cependant, est-il vraiment juste d'associer l'événement "voir un film policier" à un événement indépendant ? Voici l'exercice en question:
Un cinéma prévoit, pour une année, 365 films différents (un film différent chaque jour) dont
73 films policiers.
1. (a) Quelle est la probabilité p pour qu’une personne entrant un jour au hasard dans ce cinéma voit
un film policier ?
(b) Quelle est la probabilité q qu’elle voit un autre film ?
2. Monsieur Dupont va à ce cinéma une fois par mois, sans connaître à l’avance le programme. Quelles
seront les probabilités p1, p2, p3 et p4 pour qu’il voit durant l’année.
(a) Un film policier et un seul ?
(b) Douze films non policiers ?
(c) Au moins deux films policiers ?
(d) Quatre films non policiers et quatre seulement ?

Fred

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Re : Probabilité

Bonjour,

  Si tu te poses la question de savoir si les événements $A_i=$"le $i$-ème mois, Mr Dupont va voir un film policier" sont indépendants, je pense qu'il faut effectivement le supposer, sinon on ne peut pas résoudre l'exercice.
Et oui, l'utilisation de la loi binomiale est alors parfaitement adaptée.

F.

Rescassol

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Re : Probabilité

Bonjour,

Ça dépend si on considère que $\dfrac{1}{364}$ est négligeable ou non.
Je verrais plutôt des choses comme $\dfrac{\binom{73}{k}\binom{365-73}{n-k}}{\binom{365}{n}}$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (03-02-2024 14:10:34)

Pierrot2000.

Invité

Re : Probabilité

J'ai pensé à la même chose concernant les combinaisons. Cependant, la calculatrice ne me donne pas de valeurs et affiche "erreur math". Je suppose que les combinaisons donnent une valeur beaucoup trop grande... À moins de tout laisser sous forme de quotients et de combinaisons, je préfère utiliser une loi binomiale pour obtenir une valeur numérique, même avec un léger décalage sur les valeurs.

Rescassol

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Re : Probabilité

Bonjour,

On peut simplifier les factorielles à la main avant de faire appel à la calculatrice.
Sinon, en Python, ça doit rentrer.

Cordialement,
Rescassol

Pierrot2000.

Invité

Re : Probabilité

Merci pour toutes tes réponses. Il me reste juste une interrogation : pourquoi est-ce que [tex]\dfrac{1}{364}[/tex] devrait être négligeable ou non ? Je ne comprends pas le choix de cette valeur... J'espère que ma question sera comprise.

Ça dépend si on considère que $\dfrac{1}{364}$ est négligeable ou non.

Rescassol

Pierrot2000.

Invité

Re : Probabilité

Je pourrais donc admettre quelque chose qui n'est pas totalement juste (puisque après avoir vu un film policier, il reste moins de films policiers à voir) afin d'avoir une approximation du résultat, si je comprends bien.

  Si tu te poses la question de savoir si les événements $A_i=$"le $i$-ème mois, Mr Dupont va voir un film policier" sont indépendants, je pense qu'il faut effectivement le supposer.

F.

Rescassol

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Re : Probabilité

Bonjour,

je me suis peut-être mal exprimé.
La probabilité de voir un film particulier est $\dfrac{1}{365}$.
Une fois qu'il est vu, la probabilité d'en voir un autre particulier est $\dfrac{1}{364}$
Utiliser une loi binômiale se justifie si on considère qu'il y a suffisamment de films pour qu'en enlever un ne change pratiquement pas la répartition entre policiers et non policiers, donc qu'on peut considérer que les tirages sont indépendants.
C'est comme dans un sondage, on néglige le fait qu'on ne va pas interroger deux fois la même personne.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (04-02-2024 10:46:47)

Ernst

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Re : Probabilité

Bonjour,

Pour moi, qui n'y connais pas grand chose, c'est comme un tirage sans remise de 12 boules dans une urne qui en contient 365 avec 73 boules noires. Sauf qu'ici l'urne c'est le cinéma, les 365 boules ce sont les films pour chaque jour et les 73 boules noires ce sont les films policiers. Aller voir douze films au hasard, c'est équivalent dans mon esprit à tirer 12 boules en aveugle, sans les remettre bien sûr puisqu'ils ont été vus.

Après, les urnes, les boules et les tirages sans remise étant des modèles courants, j'imagine qu'il y a des formules pour ce genre de situation...

Pierrot2000.

Invité

Re : Probabilité

Merci pour toutes vos réponses. Cependant, Monsieur Dupont voit un film chaque mois. Ainsi, la probabilité de voir un film en particulier le premier mois est de $\dfrac{1}{365}$  . Cependant, le mois suivant, la probabilité de voir un film particulier sera plutôt $\dfrac{1}{335}$  . Il faudrait donc se demander s'il y a suffisamment de films pour que la suppression de 30 films ne modifie pas fondamentalement la répartition entre les films policiers et non policiers. Désolé encore de vous déranger. Je m'excuse pour toutes mes interrogations, j'ai un peu de mal à comprendre. ^^

Bonjour,

je me suis peut-être mal exprimé.
La probabilité de voir un film particulier est $\dfrac{1}{365}$.
Une fois qu'il est vu, la probabilité d'en voir un autre particulier est $\dfrac{1}{364}$
Utiliser une loi binômiale se justifie si on considère qu'il y a suffisamment de films pour qu'en enlever un ne change pratiquement pas la répartition entre policiers et non policiers, donc qu'on peut considérer que les tirages sont indépendants.
C'est comme dans un sondage, on néglige le fait qu'on ne va pas interroger deux fois la même personne.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par yoshi (04-02-2024 13:20:24)

Rescassol

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Re : Probabilité

Bonjour,

Ça ne sert à rien de citer mon message précédent, à part gaspiller de la bande passante.
Je ne vois pas d'où tu sors ce $30$ alors que la personne vois un film par mois pendant une année.
Il ne s'agit donc que de $12$ films.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (04-02-2024 15:56:45)

Pierrot2000.

Invité

Re : Probabilité

Désolé pour les messages cités, je n'étais pas au courant. Le 30 provient du fait que même lorsque la personne ne se rend pas au cinéma, un film est quand même projeté. Cela signifie qu'un film est diffusé chaque jour, qu'il y ait des spectateurs ou non. Ainsi, au deuxième mois, il y a au moins 30 films en moins parmi ceux qui pourraient être projetés, en raison des films projetés durant le premier mois. Dites-moi si je me trompe.

Rescassol

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Re : Probabilité

Bonsoir,

D'une part, tous les mois n'ont pas 30 jours, mais de toutes façons, ce n'est pas le problème de la personne dont parle l'énoncé. Elle ignore tout de ce qui a été projeté.

Cordialement,
Rescassol

Ernst

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Re : Probabilité

de toutes façons, ce n'est pas le problème de la personne dont parle l'énoncé. Elle ignore tout de ce qui a été projeté.

Ah oui, très juste, ce qui fait que le truc de l'urne et du tirage sans remise, ça ne marche pas du tout finalement. Effectivement, chaque fois qu’on tire une boule, le contenu de l’urne diminue d’une seule unité, alors qu’avec le cinéma, l’urne se vide régulièrement dans la mesure où les films passent jour après jour qu’on aille les regarder ou pas, on ne sait rien de ce qui disparaît, et en fait on n’a aucun raisonnement possible sur ce qui reste.

Tout compte fait, il faut peut-être alors considérer la situation comme une loterie de 365 billets de 73 lots à laquelle on prend 12 tickets. Effectivement, si la programmation des films a été faite en amont et que les jours de sortie cinéma ont également déjà été décidés et marqués sur l’agenda, les événements deviennent complètement indépendants.

(pas pour rien que je n’ai jamais aimé les probabilités)