Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tilda

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série absolument convergente

Bonjour
s'il vous plait

est-ce que si $\sum |x_n|$ < +l'infini pour tout n dans N
alors si on a $\sum |x_n|$ <=r
donc $|x_n|$<=r
?

Merci bien

Dernière modification par tilda (28-01-2024 13:46:54)

bridgslam

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Re : série absolument convergente

Bonjour,

Si la série est absolument convergente, cela signifie donc que toutes les sommes partielles des valeurs absolues  sont majorées par la somme, donc par un majorant r de la somme (si je comprends bien la question).
Ne pouvez-vous pas trouver un majorant  de chaque $|x_n|$ grâce aux sommes partielles ?

A.

tilda

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Re : série absolument convergente

Bonjour

en fait , ce que j'ai c'est l'ensemble :
{$(x_n)$ une suite de nombres réels , $\sum |x_n|$<+l'infini} je ne suis pas sûre est-ce bien le cas des séries absolument convergentes..

Dernière modification par tilda (28-01-2024 14:38:50)

bridgslam

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Re : série absolument convergente

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de comprendre votre questionnement exactement: "est-ce-que c'est le cas... ?"

Par définition une série ( disons à termes réels ou complexes ) est absolument convergente ssi la série des modules des termes est convergente.
Votre écriture semble bien indiquer que c'est le cas, sauf erreur.

Il y a peut-être deux questions dans vôtre énoncé:

- qu'est-ce-qu'une série abs. converge: lire le cours, vous en avez forcément la définition
- l'autre question demande une réflexion de bon sens, vu que la série des valeurs absolues (ou des modules)  porte sur des termes positifs.

tilda

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Re : série absolument convergente

Dans mon exo , on indique que l'ensemble que j'ai écrit dessus est l^1

bridgslam

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Re : série absolument convergente

Bonjour,

Il vaut mieux donner l'énoncé - à la lettre près -dès le début.
Ne pas oublier non plus  les quantificateurs, notamment, dans les questions posées (s'il y en a ).

A.

tilda

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Re : série absolument convergente

Ne pouvez-vous pas trouver un majorant  de chaque $|x_n|$ grâce aux sommes partielles ?

A.

j'ai $\sum |x_n| <= \sum_{n=0}^{+\infty} |x_n| <= r$
or $\sum |x_n|$ converge donc le reste tend vers 0
mais là je ne trouve pas un majorant pour $|x_n|$ ?

Dernière modification par tilda (28-01-2024 15:19:12)

bridgslam

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Re : série absolument convergente

En général , sans aucun indice avec le $\Sigma$, on désigne la série, qu'elle soit convergente ou pas.

Soit votre première expression désigne ( à tort ) une somme partielle, et il faut mettre un indice de fin, sinon ça ne veut rien dire.
Soit vous désignez la série elle-même (couple de deux suites) , et l'inégalité avec un nombre n'a pas de sens.

En imaginant ce que vous voulez dire: r est un majorant ( parmi d'autres ) de la somme de la série des $|u_n|$, donc supposée convergente.
( ce qui signifie que la série est abs. convergente).

Que pouvez-vous dire des sommes partielles $\Sigma_{n=0}^p |u_n|$  ?

Comment majorer simplement $|u_n|$ avec une telle somme (choisie convenablement), de façon à pouvoir le faire pour tous les n ?

Rien de sorcier

Pour vous guider, vous pouvez faire une analogie par exemple avec une somme finie de nombres positifs.
Que pouvez-vous dire de la somme comparée à un des termes ?

A.

Dernière modification par bridgslam (28-01-2024 17:02:05)

tilda

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Re : série absolument convergente

D'accord , donc j'ai oublié un n dans ma série pour parler effectivement de somme partielle ; merci beaucoup

sinon , on peut toujours majorer les |u_n| par la somme

tilda

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Re : série absolument convergente

j'ai un problème ; c'est la série qui converge donc c'est la série qui est majorée et non pas la somme

bridgslam

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Re : série absolument convergente

Bonsoir,

Je vous conseille de revoir les définitions: suites, séries, convergence d'une suite, série convergente ou divergente, série abs. convergente.

Que voulez-vous dire: c'est la série qui est majorée ? De quelle somme parlez-vous ? Une somme partielle en particulier?

Les notations sur les séries étant déjà par nature sujettes à caution (nuance série/somme partielle, somme limite ...) il faut être plus rigoureux
sur les assertions en disant exactement de quoi vous parlez.

Pour moi $|x_n| \le \Sigma_{i=0}^n |x_i| \le S \le r$ en appelant S la somme de la série convergente $\Sigma |u_n|$.

Je ne vois pas ce qui vous pose problème. La somme d'une série à termes positifs est le sup de ses sommes partielles.

A.

tilda

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Re : série absolument convergente

Je pensais que la somme d'une série est sa limite
pourriez-vous écrire en "notation mathématique" ceci : "le sup de ses sommes partielles."

tilda

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Re : série absolument convergente

Lorsqu'on dit une série convergente on veut dire la somme partielle qui converge ?
est-ce que c'est la somme partielle qui converge vers 0 ou c'est le reste ?
comment peut-on définir le reste d'une série est-ce sue c'est bien la limite - la somme partielle (que je ne comprends pas d'ailleurs) ?

Merci pour toute clarification

Roro

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Re : série absolument convergente

Bonsoir,

Je ne voudrais pas me substituer à bridgslam mais je pense qu'à un moment, il faut lire les définitions tranquillement avant d'aller plus loin. Normalement, si tu arrives à évoquer des séries, tu dois être capable de comprendre les définitions (sinon, il faut peut être reprendre les notions antérieurs de suites, de limites...).

A mon avis, toutes les réponses à tes questions sont données dans un cours élémentaire sur les séries numériques, par exemple ici :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … serie.html

Je pense qu'un forum ne peux pas se substituer à un cours ou à un enseignant. On peut répondre à des questions, donner des pistes pour des exercices, éventuellement préciser une notion mais pas refaire un cours qu'on peut trouver partout sur le web (et dans tous les ouvrages de maths niveau L2).

Roro.

Dernière modification par Roro (28-01-2024 22:04:55)

Glozi

Invité

Re : série absolument convergente

Bonsoir,
Comme souvent, Roro parle d'or !

▼d'ailleurs...

"roro" à l'envers ça fait "oror" :)

Bonne soirée

bridgslam

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Re : série absolument convergente

Bonjour,

Bonsoir,

Je ne voudrais pas me substituer à bridgslam mais je pense qu'à un moment, il faut lire les définitions tranquillement avant d'aller plus loin. Normalement, si tu arrives à évoquer des séries, tu dois être capable de comprendre les définitions (sinon, il faut peut être reprendre les notions antérieurs de suites, de limites...).

A mon avis, toutes les réponses à tes questions sont données dans un cours élémentaire sur les séries numériques, par exemple ici :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … serie.html

Je pense qu'un forum ne peux pas se substituer à un cours ou à un enseignant. On peut répondre à des questions, donner des pistes pour des exercices, éventuellement préciser une notion mais pas refaire un cours qu'on peut trouver partout sur le web (et dans tous les ouvrages de maths niveau L2).

Roro.

Je suis d'accord à 100% avec Roro.
A la rigueur un rappel de cours liminaire sur un point isolé peut être mentionné à l'occasion, mais en aucun cas reprendre les définitions et/ou notions de bases de A à Z ne peut monopoliser ce forum, au risque même de modifier l'ordre ou le type de présentation déjà réalisé par un enseignant, ce qui ne serait pas forcément une bonne expérience pour le demandeur.
Nous pourrons apporter des échanges valables (du moins je l'espère ) à Tilda lorsque cette personne aura appris son cours, pénultième et dernier conseil que je lui propose (et visiblement à entreprendre d'urgence).

A.